05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

что также доказывает высказанное в начале параграфа предположение.

Рассмотрим общий случай (рис. 1.17в). Рассуждая точно так же, как в предыдущем случае, получим тот же результат

Теперь докажем теорему Стокса для многосвязной области потока, показанной на рис. 1.17г. Эта область потока имеет внутри два выреза L1 и L2 . Так что область трёхсвязная. С по-

мощью разрезов превратим эту область в односвязную. По доказанному выше для неё справедливо соотношение:

ГL + ГL1 + ГL2 = 2∫ωndS . S

Площадь S берётся за вычетом площади вырезов. При таком же направлении обхода внутренних контуров L1 и L2 , что и внеш-

него контура L

ГL = 2∫ωndS + ГL1 + ГL2 . S

Если число внутренних контуров n, то

n

ГL = 2∫ωndS + Σ ГLi . (1.34)

i=1

S

То есть в многосвязной области циркуляция по внешнему контуру равна интенсивности вихрей, проходящих через поверхность, которая опирается на контур, плюс сумма циркуляций по внутренним контурам. При этом направление обхода всех котнтуров одинаковое.

31

1.10.ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА

ОПОСТОЯНСТВЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ ПО ЕЕ ДЛИНЕ

Интенсивность вихревой трубки в данный момент времени есть величина постоянная для всех её сечений.

Рис. 1.18. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине

Проведём на поверхности вихревой трубки замкнутый контур abcdefa , как показано на рис. 1.18. Линии cd и fa образуют разрез. По теореме Стокса

Гabcdefa = 2∫ωndS . S

Так как контур abcdefa лежит на поверхности вихревой трубки, где ωn = 0 , то Гabcdefa = 0 . Представим эту циркуляцию в виде суммы:

Гabcdefa = Гabc + Гcd +Гdef + Г fa = Гabc + Гdef = 0 .

Поэтому Гabc = −Гdef . Если изменить направление обхода конту-

ра def на противоположное, то Гabc = Г fed . Но по теореме Стокса

32

Гabc = 2 ∫ ωndS = I1 , Г fed = 2 ∫ ωndS = I2 .

Рис. 1.19. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости

На основании этой теоремы можно сделать заключение о форме вихревых трубок. По доказанному вдоль вихревой трубки

∫ωndS = const . По теореме о среднем значении интеграла

ω1S1 = ω2S2 = const ,

где ω1 и ω2 – средние угловые скорости вращения частиц. Если предположить, что вихревая трубка заканчивается в жидкости остриём, т.е. S2 → 0 , то ω2 → ∞ (рис. 1.19а). Но бесконечно

большие скорости физически невозможны. Следовательно, вихревая трубка не может заканчиваться остриём в жидкости. Вихревая трубка заканчивается на границах области потока или замыкается сама на себя, как показано на рис. 1.19б. Границами области потока служат боковые стенки сосуда, его дно и свободная поверхность жидкости, где и располагаются концы вихревых трубок. На рис. 1.2 представлена пелена вихревых трубок. Их концы прикреплены к задней кромке крыла.

33

1.11. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

1.11.1.Массовые и поверхностные силы, свойства давления

видеальной жидкости

Массовая сила, отнесенная к единице массы, называется еди-

ничной массовой силой (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Массовая и поверхностная силы

По определению единичная массовая сила в данной точке

lim F .

m→0 m

Она численно равна ускорению и имеет размерность Н/кг = м/c2. Если проекции силы на оси координат Fx , Fy , Fz , то проекции

В идеальной движущейся жидкости касательные напряжения равны нулю, и имеются только нормальные напряжения. Нор-

34

мальное напряжение в данной точке жидкости называется дав- лением. Давление в идеальной движущейся жидкости обладает следующими свойствами:

1.Давление направлено по нормали внутрь жидкости.

2.Давление в данной точке по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от ориентировки площадки (рис. 1.21):

Рис. 1.21. Давление в данной точке потока идеальной жидкости по всем направлениям одинаково

1.11.2.Уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера

Рассмотрим элементарную частицу жидкости, движущуюся с некоторым ускорение под действием приложенных к ней массовых и поверхностных сил (рис. 1.22).

Рис. 1.22. К выводу уравнений движения идеальной жидкости Эйлера

35

Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось Оx:

В этих уравнениях проекции X, Y, Z единичных массовых сил известны. Неизвестные: ρ, p, Vx , Vy , Vz , . Три уравнения со-

держат пять неизвестных. Система незамкнута и не имеет решения. Поэтому к ней добавляются еще два уравнения: уравнение неразрывности

и уравнение состояния

ρ = f ( p,T ) .

Например, для совершенного газа p = ρRT . В частных случаях изотермического процесса

p = const, (1.41)

ρ

адиабатического процесса

Для интегрирования уравнений (1.38) — (1.40) должны быть заданы начальные и граничные условия. При этих условиях система пяти уравнений с пятью неизвестными будет иметь единственное решение.

36

1.11.3. Уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека — Лемба

Для удобства интегрирования уравнений Эйлера формально преобразуем их. Вначале преобразуем правые части уравнений.

Далее преобразуем левые части уравнений Эйлера. Пусть внешние массовые силы имеют потенциал U (x, y, z, t ) , т.е.

После подстановок в (1.38) это уравнение приобретает вид:

37

Следовательно, уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека — Лемба запишутся как

Так как в данный момент времени полный дифференциал по-

Например, если жидкости движется в поле сил тяжести, а ось z направлена вертикально вверх, то X = Y = 0 , Z = − g и U = −gz + const .

Далее найдем функцию Громека. Умножая каждое из уравнений (1.46) на dx, dy, dz и складывая их, получим, что в данный

то она называется баротропной. Жидкости, плотность которых не есть функция одного только давления, называются бароклин- ными. Примером бароклинной жидкости может служить совершенный газ, подчиняющийся уравнению состояния Менделеева — Клайперона

38

Для баротропной жидкости легко найти функцию Громека. Например, если жидкость несжимаемая ρ = const , то

p

Если процесс адиабатический, то ρk = c и

Отметим, что потенциал внешних массовых сил и функция Громека определены с точностью до постоянных интегрирования.

1.11.4.Интегралы уравнений движения для частных случаев

Рассматриваем движение (1) идеальной (2) баротропной жидкости при наличии массовых сил, обладающих (3) однозначным потенциалом. Вначале интегрируем уравнения (1.47) для уста-

новившегося движения, при котором

∂Vx = ∂Vy = ∂Vz = 0 . ∂t ∂t ∂t

Интеграл Эйлера. Дополнительно полагаем, что движение потенциальное. Тогда ωx = ωy = ωz = 0 и правые части уравне-

39

случае является функцией координат. Однако уравнения (1.55) показывают, что в рассматриваемом случае он не зависит от координат, и следовательно,

Интеграл Бернулли. Рассматриваем более общий случай вихревого движения. Выбираем частицы жидкости на данной линии тока, для которой

Умножим первую строку (1.47) на dx , вторую – на dy , третью – на dz , сложим уравнения почленно и получим:

= 2 ωy (Vzdx − Vxdz ) + ωz (Vxdy − Vy dx )+ ωx (Vy dz − Vzdy ) .

Но вследствие (1.57) правая часть уравнения (1.58) обращается в нуль и поэтому:

Интеграл Громека. Если вихревые линии совпадают с линиями тока, то такое движение называется винтовым (рис.1.23).

Рис. 1.23. Винтовое движение жидкости

40