05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

Изменение массы внутри S вызвано соответствующим изменением плотности жидкости. Подсчитаем это изменение массы. Внутри S была масса ρdxdydz , а через промежуток времени dt внутри S она стала равной:

Следовательно, изменение массы за время dt :

Так как dm = − ∂ρ dtdxdydz , то

Это выражение называется уравнением неразрывности.

Найдем другой вид уравнения неразрывности. Производные произведений двух функций будут:

Следовательно:

∂ (ρVx ) + ∂ (ρVy ) + ∂ (ρVz ) + ∂ρ =

22

2. Если рассматривается потенциальное течение несжимае-

Это уравнение для потенциала скорости называется уравнением Лапласа, а функция ϕ , удовлетворяющая этому уравнению, на-

зывается гармонической функцией.

В гидравлике рассматривали уравнение расхода, представляющее собой интегральную форму закона сохранения массы. Для трубки тока на рис. (1.12)

Q = ∫Vn1 dS1 = ∫Vn2 dS2 = const .

S1 S2

Уравнение (1.23) является дифференциальной формой закона сохранения массы.

23

1.7.ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ВДОЛЬ КРИВОЙ. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИ

Линейным интегралом вектора скорости вдоль пространственной кривой AB (рис.1.13). называется

Рис. 1.13. Интеграл вектора скорости вдоль кривой. Циркуляция вектора скорости

B B

Так как V cos α = VS , то ∫V cos α dS = ∫VS dS . Косинус угла α

A A

между векторами V и S равен сумме произведений направляющих косинусов:

cos α = cos (V, x ) cos (S, x ) + cos (V, y ) cos (S, y ) + cos (V, z ) cos (S, z ).

Направляющие косинусы cos (V, x ) = Vx V , cos (S, x ) = dx dS и

так далее. Поэтому и интеграл (1.26) выражается через проекции вектора скорости Vx , Vy , Vz как

По определению интеграла при изменении направления движения по кривой

25

жения по кривой

Если, как показано на рис. 1.14а, кривую AB можно разбить на два участка AC и CB, то по определению

Рис. 1.14. Свойства интеграла вектора скорости вдоль кривой

Линейный интеграл вектора V по замкнутой кривой (рис. 1.14б) называется циркуляцией вектора по этой кривой и

обозначается ∫VS dS = . Положительным направлением обхода

считается такое направление, при котором кривая остается слева. Это направление указано на рисунке стрелкой. В дальнейшем циркуляцией будем называть линейный интеграл и по незамкнутому контуру и также обозначать его .

Если течение жидкости потенциальное, то имеют место два свойства.

1. Линейный интеграл вектора V равен разности значений потенциальной функции ϕ в точках A и B:

интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечных точек пути (рис. 1.14в). В частности, циркуляция будет равна нулю по замкнутому контуру.

26

1.8.ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ТРУБКИ

Движение жидкости с вращением частиц называется вихре- вым. Вращение частиц характеризуется вектором угловой ско-

рости ω(ωx , ωy , ωz ) . Проекции этого вектора на оси координат

определяются уравнениями (1.15).

Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой век- тор угловой скорости направлен по касательной к ней. Постро-

им вихревую линию (рис. 1.15а). В точке М угловая скорость ω, в точке М1 угловая скорость ω1 и т.д. Если расстояния ММ1, М1М2, … устремить к нулю, то полигон ММ1М2, … превратится в гладкую кривую, которая и будет вихревой линией. Вихревая линия выполняет роль криволинейной оси вращения. Если не принимать во внимание деформацию частиц жидкости, то частицы как твердые шарики с отверстиями нанизаны на нить, которая и служит вихревой линией.

Рис. 1.15. Вихревая линия (а) и линия тока (б)

Так как определение вихревой линии аналогично определению линии тока, то дифференциальное уравнение вихревой линии подобно (1.11):

В общем случае вихревые линии и линии тока не совпадают, как

27

показано на рис. 1.15б.

Вихревые поверхности и вихревые трубки строятся аналогично поверхностям и трубкам тока. Через точки замкнутого контура L1 проведем вихревые линии. Эти вихревые линии об-

разуют поверхность, называемую вихревой трубкой (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Вихревая трубка

Удвоенный поток вектора щ через поперечное сечение вихревой трубки площадью S называется интенсивностью вихревой

трубки в этом сечении

Как следует из табл. 1.1, основные понятия для поля скоростей и поля вихрей одинаковы.

Таблица 1.1

Поле скоростей и вихрей

28

В случае плоского движения жидкости векторы скорости лежат, например, в плоскостях, параллельных плоскости xOy и не изменяются вдоль оси Oz . Как показано на рис. (6.1) учебника по гидромеханике [5], в этом случае вихревые линии — прямые, перпендикулярные плоскости xOy . Они пронизывают всю эту плоскость.

1.9. ТЕОРЕМА СТОКСА

Циркуляция скорости по замкнутому контуру в односвязном объёме равна суммарной интенсивности вихрей, пронизываю- щих поверхность, которая опирается данный контур.

Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный плоский контур в окрестности точки M (x, y) , как показано на рис. 1.17а. Вихревые линии перпендикулярны плоскости xOy . Вектор ω угловой скорости вращения частиц имеет только одну проекцию ωz . Элементарную циркуляцию по контуру abcda можно представить как

dГabcda = dГab + dГbc + dГcd + dГda .

Рис. 1.17. К доказательству теоремы Стокса

29

Каждая из циркуляций по сторонам прямоугольника равна: dГab = Vx dx ,

dГda = −Vy dy .

Складывая левые и правые части этих уравнений, после сокращений получим:

Так как по (1.15) угловая скорость вращения частицы в точке М

то dГabcda = 2ωzdxdy = dJ ,

что и доказывает теорему Стокса для бесконечно малого прямоугольного контура.

Далее рассмотрим плоский контур L площадью S конечных размеров (рис. 1.17б). Вертикальными и горизонтальными линиями разделим этот контур на бесконечно малые прямоугольники. Элементарные циркуляции

Так как смежные стороны прямоугольников обходятся дважды в противоположных направлениях, то после суммирования левых и правых частей этих уравнений и перехода к пределу получим:

30