05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 3 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

ГЛАВА 3. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

3.1. Закон вязкого трения Ньютона

При движении жидкости прямолинейными слоями, касательные напряжения, возникающие между слоями, пропорциональны градиенту скорости. Пусть жидкость движется параллельными слоями вдоль твердой стенки

(рис. 3.1).

Распределение скоростей показано на этом рисунке. В вязкой жидкости скорость на твердой стенке Ox равна нулю. Частицы жидкости прилипают к стенке – это свойство называется условием прилипания. В слое, расположенном на расстоянии y от начала координат – скорость равна V . В соседнем слое скорость V + V . Выберем на рис. 3.1 бесконечно малую частицу жидкости в виде прямоугольника abcd. За бесконечно малый промежуток времени t частица жидкости переместится в новое положение и примет форму параллелограмма a′b′c′d ′. В соответствии с законом Ньютона касательные напряжения между слоями жидкости:

где S — площадь слоя жидкости, — динамическая вязкость.

Рис. 3.1. К закону вязкого трения Ньютона

1

Отметим два отличия законов трения в жидкости от таковых для твердых тел:

1.Касательная сила T не зависит от нормального давления.

2.Касательное напряжение в твердом теле в соответствии с законом Гука пропорционально деформации, а в жидкости оно пропорционально скорости деформации. Например, чем больше угол закручивания твердого стержня,

тем больше напряжения. Покажем, что ∂V ∂y в уравнении — это скорость деформации.

Из параллелограмма a′b′c′d ′ очевидно, что tgΔθ ≈ Δθ = V t . y

изводная ∂V ∂y в (3.1) — это скорость скошения прямого угла или скорость угловой деформации.

3.2. Уравнения Навье-Стокса

По сравнению с идеальной жидкостью в движущейся вязкой жидкости, появляются касательные силы T , которые отсутствуют в идеальной жидко-

сти (рис. 3.2). Кроме этого имеются нормальные силы P. Условимся положительным нормальным напряжением считать напряжение, направленное в сторону противоположную положительному направлению осей координат. Это же правило применяется и для касательных напряжений.

Рассмотрим бесконечно малый объем движущейся жидкости в виде параллелепипеда (рис. 3.3а). Этот же параллелепипед изображен на плоскости на рис. 3.3б. Обозначим напряжения по граням параллелепипеда. В обозначениях нормальных и касательных напряжений, первый индекс обозначает грань, перпендикулярную некоторой оси; второй индекс обозначает проекцию на соответствующую ось. Вдоль каждой грани параллелепипеда дей-

Рис. 3.2. Касательная и нормальная поверхностные силы

2

Мысленно остановим частицу и добавим к массовым силам силу инерции. Составим сумму моментов всех сил, действующих на эту частицу жидкости, относительно оси, проходящей через центр тяжести C параллелепипеда и параллельную оси z . Приравняем сумму нулю. Массовые силы приложены в центре тяжести частицы и моментов не дают. Моменты от сил, обусловленных нормальными напряжениями, равны нулю. Следовательно,

Когда размеры параллелепипеда стремятся к нулю, т.е. dx, dy, dz → 0,

Уравнения показывают, что касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных площадках одинаковы. Поэтому напряженное состояние в данной точке определяется только шестью напряжениями, а не девятью, как в (3.3).

Согласно второму закону Ньютона сумма проекций поверхностных и массовых сил на ось x равна произведению массы частицы на проекцию ускорения на эту же ось:

После сокращения на dxdydz , получим уравнение движения вязкой жид-

кости в напряжениях:

Вторая и третья строки уравнений записаны по аналогии с первой.

Далее вводятся гипотезы о напряжениях. Под влиянием вязкости жидкости меняются нормальные напряжения и появляются касательные напряжения.

4

Нормальные напряжения. Ранее для идеальной невязкой жидкости все три нормальных напряжения были одинаковыми pxx = pyy = pzz = − p , при-

чем давление p называлось гидродинамическим давлением в идеальной

жидкости. В вязкой жидкости появляются добавочные нормальные напряже-

Вводятся предположения, что добавочные напряжения пропорциональны скоростям относительного удлинения частицы. Вдоль осей координат скоро-

Так как для несжимаемой жидкости

то сумма трех нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам:

pxx + pyy + pzz = −3 p.

Вкачестве гидродинамического давления в вязкой жидкости принимается среднее арифметическое трех нормальный напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам:

Если повернуть оси координат, как показано на рис. 3.4, то гидродинамическое давление не изменится. Другими словами оно — инвариант относительного поворота осей координат.

5

женные решения. В связи с широким распространением ЭВМ, возможно чис- ленное решение уравнений движения вязкой жидкости. Большое число решенных задач приведено в работе [13].

3.3. Пример точного решения уравнений Навье-Стокса

Рассмотрим поступательное плоское установившиеся течение тяжелой несжимаемой жидкости в канале с параллельными стенками в поле силы тяжести.

Найти потери напора на участке канала между сечениями 1-2 на расстоя-

нии l. p = ρghпт = p1 − p2 .

Уравнения Навье-Стокса для плоского движения:

тема уравнений (3.12) существенно упрощается

Рис. 3.6. Плоское установившиеся движения жидкости в канале

8

где f (x ) — функция интегрирования, зависит только от x. Если дифферен-

цировать уравнение (3.14) по z, то получим второе уравнение системы (3.13). Следовательно, несмотря на движение жидкости, давление в данном сечении x = const подчиняется гидростатическому закону: оно увеличивается пропорционально первой степени z.

Дважды интегрируя первое уравнение системы (3.13). В этом уравнении

болическому закону. На стенках Vx = 0, максимум скорости

9

в полтора раза меньше максимальной. Проинтегрируем (3.16) и найдем потерю напора p :

Потеря энергии пропорциональна первым степеням вязкости , средней скорости Vср и длине l рассматриваемого участка канала.

Аналогичным способом решается задача о ламинарном движении жидкости в круглой трубе. Для потери напора получаем формулу Пуазейля

3.4. Пример приближенного решения уравнений Навье-Стокса (движение шара в вязкой жидкости)

Задача о медленном движении шара с постоянной скоростью в вязкой несжимаемой жидкости решена Стоксом. Так как рассматривается медленное движение, то в уравнениях (3.11) можно пренебречь инерционными членами: dVx dt = dVy dt = dVz dt = 0. Кроме того, пренебрегая внешними массо-

выми силами. Уравнения (3.11) упрощаются и удается их проинтегрировать. По формуле Стокса действующая на шар сила равна:

где V∞ — скорость движения,

10