05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 3 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

— динамическая вязкость жидкости, d — диаметр шара.

Рис. 3.7. Движение шара

Сила прямо пропорциональна первой степени вязкости и скорости. Действующую на шар силу можно выразить по общей формуле подобия для сил:

где Cx — безразмерный коэффициент силы,

ρ — плотность жидкости,

S — площадь миделевого (диаметрального) сечения шара.

где Re = V∞ d ρµ — число Рейнольдса.

Сравним расчеты Стокса с экспериментом (рис. 3.7). Видно, что формула Стокса верна лишь для очень малых чисел Re ≤ 1. Эта формула находит применение в расчетах процессов отстаивания. В смеси воды с твердыми частицами последние под действием силы тяжести медленно оседают на дно сосуда. Смесь осветляется. Время осаждения составляет часы и может быть рассчитано с использование формулы Стокса.

11

Cx

Re

Рис. 3.8. Зависимость коэффициента сопротивления шара от числа Рей- нольдса по [12]

3.5. Приближенные решения уравнений Навье-Стокса

В связи с развитием вычислительной техники в последние десятилетия созданы программные комплексы, которые позволяют решать эти уравнения для пространственных движений жидкости в неподвижных и вращающихся каналах. Примерами могут служить FlowVision, Ansys CFX, Fluent, Star-CD, Cosmos Floworks и многие другие. На рис. приведены примеры расчетов потока.

3.6. Методы подобия и размерности

Эти методы весьма полезны при теоретическом и экспериментальном изучении движения жидкости.

3.6.1. Размерности физических величин

Размерные и безразмерные величины. Величины, числовое значение которых зависит от принятых масштабов, т.е. от системы единиц измерения,

называются размерными или именованными величинами. Величины, числовое значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения,

называются безразмерными или отвлеченными величинами. Длина, сила,

время — размерные величины. Углы, отношение двух длин, отношение длины окружности к ее радиусу и др. — безразмерные величины.

Подразделение величин на размерные и безразмерные до некоторой степени условно. Например, угол можно измерять в радианах, в градусах, в до-

12

лях прямого угла. Число, определяющее угол, зависит от выбора единицы

измерения.

Основные (первичные) и вторичные величины и единицы их измере-

ния. Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы из-

Метр равен 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2 p10 и 5d5 атома криптона-86 [ХI ГКМВ

(1960г.), Резолюция G]

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма [I

ГКМВ (1889г.) и III ГКМВ (1901 г.)]

Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями состояния атома цезия-133 [XIII ГКМВ (1967 г.), Резолюция 1].

Размерность какой-либо величины a обозначают как [a] . Размерность

скорости [V ] = LT −1 , размерность ускорения [a] = LT −2 .

Размерность динамической вязкости можно получить из закона Ньютона

вид степенного одночлена: [a] = Lα M βT γ .

Формулы размерности удобны для пересчета числового значения размерной величины при переходе от одной системы единиц измерения к другой:

1 см = 10−5 км, 1 с = (13600) ч.

Физические закономерности не зависят от выбранной системы единиц измерения.

13

3.6.2. Установившееся движении вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальной шероховатой круглой трубе

Рис. 3.12. Установившиеся движение несжимаемой жидкости в круглой трубе

Схема течения показана на рис. 3.12. Заданы: ρ — плотность жидко-

Перепад давлений зависит от шести величин, заданных при постановке

Как видно из (3.25), интересующая нас величина зависит от 5 переменных. Эту зависимость можно получить теоретически или экспериментально. Предположим, что зависимость (3.25) находим экспериментально. Будем считать, что для выяснения зависимости от одной переменной достаточно 5 опытов. В таком случае следует провести:

14

Необходимо выполнить очень большое число опытов — 3125. Число экспериментов можно существенно сократить, если выбрать новую систему единиц измерения.

Занесем в табл.3.1 переменные величины, входящие в уравнение (3.25), и их размерности в системе СИ. Далее перейдем к новой системе единиц, в которой в качестве новых единиц измерения выбраны: µ, V , d. Эти едини-

цы имеют независимые размерности. Т.е. [µ] = ML−1T −1 невозможно полу-

чить из размерности [V ] = LT −1 и [d ] = L. Единицу измерения pl полу-

чим следующим образом: запишем формулу размерности и под ней размерности величин в системе СИ.

15

Vd

Новые единицы представлены в табл.3.1. Разделив величины на соответствующие новые единицы измерения получим новые величины, как показано в таблице. В новых единицах зависимость (3.25) будет иметь вид:

d2

Вкачестве новых единиц измерения можно выбрать три любые величины

снезависимыми размерностями, например ρ, V , d. Рассуждая точно также,

как и ранее, получим второй вариант новых единиц и величин (табл.3). По второму варианту получим:

d

Зависимости (3.28) и (3.29) равноценны. Умножим обе части (3.29) на Vdρµ. Получим (3.28):

Для дальнейших рассуждений выберем (3.29).

Подводя итог вышеизложенному, отмечаем следующее:

1.Вместо зависимости (3.25) между размерными величинами теперь имеем зависимость (3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.

2.Число переменных в правой части (3.28) или (3.29) уменьшилось на число величин с независимыми размерностями. Этот результат называется

π-теоремой в теории размерностей.

3.Результаты эксперимента нужно представлять в виде зависимости (3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.

Если в результате эксперимента вид функции F2 найден, то перепад дав-

лений

16

В гидравлике это выражение известно как формула Дарси для потерь в трубах. Следовательно, задача о движении жидкости в трубе свелась к изучению зависимости

µ

= – относительная шероховатость стенок трубы. d

Эта зависимость изучена Никурадзе и представлена на рис. 3.13. На этом рисунке указана относительная гладкость трубы – отношение радиуса трубы

R к абсолютной шероховатости стенки k , а не , что непринципиально.

При больших вязкостях жидкости и малых скоростях её движения V

влияние инерционных сил становиться малым. Инерционная сила пропорциональна массе, которая в свою очередь зависит от плотности ρ. В этом

случае из числа определяющих параметров в (3.25) можно исключить плотность. Кроме того, будем рассматривать движение в гладкой трубе. Тогда исключается и шероховатость. Поэтому

Так что перепад давлений в этом случае

µVl

p = C , (3.36) d 2

17

Рис. 3.15. Крыло конечного размаха

зависит от четырех размерных величин ρ, µ, V∞ , a и одной безразмерной – угла α. Составим таблицу, аналогичную табл. 3.1 и найдем соответствующие безразмерные переменные:

или

Вместо зависимости (3.37) между размерными величинами имеем зависимость (3.38) между безразмерными величинами. В соответствии с π-теоремой число переменных уменьшилось на число величин с независимыми размерностями, т.е. на три. Если теоретически или экс-

Для плоского движения вводиться сила, приходящаяся на единицу размаха крыла Pb. Разложим эту силу на две составляющие: вдоль вектора V∞ — сила сопротивления Px , а перпендикулярная составляющая — подъемная сила Py :

19

Обычно эти формулы записывают в виде формул подобия для силы сопротивления и подъемной силы

где Cx = 2Fx (Re, α ) и Cy = 2Fy (Re, α ) называются коэффициентами си-

лы сопротивления и подъемной силы.

Функции Cx и Cy можно найти либо теоретически, либо эксперимен-

тально. На рис. 3.16 представлены зависимости Cx и Cy для профиля Жу-

ковского от угла атаки α при числе Re = 105.

Еще в одном случае движения шара в вязкой жидкости с малой скоростью становятся несущественными инерционные силы. Так как сила инерции пропорциональна массе тела, а масса тела пропорциональна плотности ρ, то в

уравнении (3.33) плотность ρ становиться несущественным параметром.

В соответствии с формулой Стокса (3.20) постоянная C = 3π.

Сама по себе теория подобия не дает возможности найти вид функциональной зависимости.

20