33. Правила вычисления предела. Примеры. Правило 1.

 В числителе и знаменателе вынести x в максимальной степени, если это возможно. Заметим, что  , а   , где c - любое число.

Правило 2.

 Числитель и знаменатель разделить одновременно на  , если это возможно. Необходимо иметь в виду, что  , а   , где c - число, отличное от нуля.

Правило 3.

При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность. Возможны следующие способы:

3.1. замена переменной   , позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность;

3.2. дополнение до формулы, позволяющей возвести корень в соответствующую ему степень; здесь используются формулы:   ;  .

Например,    , т.е. умножили и разделили на сопряженное выражение.

Правило 4.

При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел:

 .    (1)

Можно использовать следствия этого предела:

 ;     (2)

 ;     (3)

 ;     (4)

 .     (5)

Правило 5.

Вычисление предела сложнопоказательной функции.  .

Если рассматриваемый предел содержит неопределенность   , то он сводится ко второму замечательному пределу:

     (1)

или    .     (2)

Правило 6.

Предел сложной функции: .

В частности,  , если .

Необходимо помнить свойства логарифмов :  ,  ,  ,  . Есть пределы, которыми можно пользоваться как"табличными":

,     (1)

,     (2)

,     (3)

.     (4)

13. Векторное произведение. Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1. | [a,b] |=S_a,b, где S_a,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S_a,b=0.)

2. a  [a,b]  b.

3. a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1. [a,b] = -[b,a]

2. [a,b] = θ  a || b

3. [a₁+a₂,b] = [a₁,b]+[a₂,b]

4. λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b]   λ  R.

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂,z₂}

=> [a,b] = 

= 

14.Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и cназывается число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

 

Утверждение 3: <a,b,c>=V_a,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a,b,c, еслиa,b,c – левая тройка. Здесь V_a,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, bи c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

 

Утверждение 4: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>= .

15. Взаимное расположение векторов.

Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой¹ или на параллельных прямых.

Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них коллинеарен другому.

Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы: