- •43.Логарифмическая производная. Пример.
- •41.Правила вычисления производных
- •40. Определение производной, её физический и геометрический смысл.
- •46. Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной. Достаточные условия существования экстремума функции в точке.
- •45. Уравнение касательной к графику функции
- •44. Производная неявно заданной фунцкции и функции, заданной параметрически.
- •39. Непрерывность функции в точке, классификация точек разрыва.
- •38.Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •37. Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.
- •35. Бесконечно малые функции, теоремы о бесконечно малых.
- •33. Правила вычисления предела. Примеры. Правило 1.
- •Правило 2.
- •Правило 3.
- •Правило 4.
- •Правило 5.
- •Правило 6.
- •14.Смешанное произведение векторов.
- •15. Взаимное расположение векторов.
- •Однонаправленные (или сонаправленные) коллинеарные геометрические векторы, имеющие совпадающие направления;
- •Противоположно направленные коллинеарные геометрические векторы, имеющие противоположные направления.
- •18. Прямая по двум точкам (уравнение прямой в отрезках).
- •17. Прямая по точке и направляющему вектору на плоскости.
- •19. Прямая с угловым коэффициентом.
- •16. Прямая по точке и нормали на плоскости.
- •20. Угол между прямыми и расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми на плоскости
- •30. Прямая по точке перпендикулярно плоскости.
- •21. Эллипс.
- •5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
- •22. Гипербола.
46. Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной. Достаточные условия существования экстремума функции в точке.
y=f(х) определена на (а;в). Х0-критическая точка.Если функция f непрерывна в точке Х0, а f '(х)>0 на интервале (а;х0) и f '(х)<0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой максимума функции f.
(Упрощенная формулировка: если в точке Х0 производная меняет знак с “+” на “ _”, то Х0 есть точка максимума.)
Если функция f непрерывна в точке Х0, а f '(х)<0 на интервале (а;X0) и f '(х)>0 на интервале (X0;в), то точка х0 является точкой минимума функции f.
(Упрощенная формулировка: если в точке Х0 производная меняет знак с “_” на “+”, то Х0 есть точка минимума.)
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Если f '(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).
Если f '(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).
(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)
45. Уравнение касательной к графику функции
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f(x0) — значение самой функции.
44. Производная неявно заданной фунцкции и функции, заданной параметрически.
Производная параметрически заданной функции:Если функция f задана параметрически
x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,
где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то
Производная неявно заданной функции :Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения
39. Непрерывность функции в точке, классификация точек разрыва.
Определение непрерывности функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть
Следствие. ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.