38.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке  выполняется условие -  .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке  , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок   на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке  , то образуется некоторая окрестность точки  .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения   и  , что  , причем  .

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например -  ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция   непрерывна в точке  , то существует некоторая окрестность точки  , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция   - непрерывная на отрезке   и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где  .

Т.е. если  , то  .

Определение. Функция   называется равномерно непрерывной на отрезке  , если для любого   существует   такое, что для любых точек   и   таких, что   верно неравенство  .

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от  , а при “обычной” непрерывности   зависит от   и  .

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Свойство 7: Если функция   определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция   тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

37. Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.

Определение: Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если    то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к    при x→0, т. к. 

При вычислении пределов эквивалентные бесконечно малые функции применяют для раскрытия неопределённости вида .

35. Бесконечно малые функции, теоремы о бесконечно малых.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины б(x): f (x)=b+ б(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+б(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+б(x) следует |f(x) – b|=| б|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном е найдется д – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |б(x)|<е. Тогда |f(x) – b|< е. А это и значит, что .

2. Если , то при любом е>0 для всех х из некоторой д – окрестность точки a будет |f(x) – b|< е. Но если обозначимf(x) – b= б, то |б(x)|<е, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=б(x)+в(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом е>0 найдется д>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<д, выполняется |f(x)|< е.

Итак, зафиксируем произвольное число е>0. Так как по условию теоремы б(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое д₁>0, что при |x – a|<д₁ имеем |б(x)|< е/2. Аналогично, так как в(x) – бесконечно малая, то найдется такое д₂>0, что при |x – a|<д₂ имеем | в(x)|< е/2.

Возьмем д=min{ д₁, д₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса дбудет выполняться каждое из неравенств |б(x)|< е/2 и | в(x)|< е/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| б(x)+в(x)| ≤ |б(x)| + | в(x)| < е/2 + е/2= е,

т.е. |f(x)|<е, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M.Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного е>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |б(x)|< е/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | бf|< е/M= е. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции б(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.