1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
Большинство современных методов проектирования систем управления основано на описании и моделировании систем в пространстве состояний. При изучении цифровых систем метод пространства состояний имеет следующие преимущества перед традиционным частотным методом:
Описание в пространстве состояний является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ.
Позволяет унифицировать описание одномерных и многомерных систем.
Может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем.
Однако достоинства хорошо известного частотного метода в его компактности и наглядности, физической интерпретируемости, и большое число задач проектирования реальных систем управления по-прежнему решается с использованием методов синтеза, основанных на определении передаточной функции.
Рассмотрим
непрерывный линейный объект, движение
которого описывается
координатами
,
имеющий
входных воздействий
(рис. 1.21).
В
ведя
векторы:
. . 
,
,
получим стандартное описание линейного объекта в форме системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
,
где
и
–
матрицы соответствующих размерностей.
Решение этой системы известно:
; (1.19)
–
начальное
состояние, переходная матрица состояния
.
Пусть
теперь рассматриваемый объект имеет
дискретное управление (см. рис. 1.22).
Координаты
будем рассматривать только в моменты
времени, совпадающие с моментами
замыкания ключа. Выберем произвольный
момент времени, соответствующий k-му
замыканию ключа, и будем считать его
начальным:
;
.
Следующий момент выборки будем считать текущим:
.
.
Тогда в соответствии с (1.19):
. (1.20)
Обозначим
.
Очевидно,
что это постоянная матрица, если
постоянна, имеющая размерность
.
Во втором слагаемом (1.20) выполним замену
переменных
,
тогда
.
При
:
,
при
:
.
Управление
постоянно на интервале интегрирования
и потому может быть вынесено (вправо)
за знак интеграла. Тогда второе слагаемое
принимает вид:
.
Обозначим
(
–
прямоугольная матрица той же размерности,
что
),
и получим:
.
Это уравнение состояния для дискретных объектов, которое позволяет по значению координат в текущий момент времени определить их значение в следующий дискретный момент времени.
Принята упрощенная запись:
.
В
дальнейшем для упрощения записи будем
опускать в обозначениях матриц
и
индекс «
»
там, где это не может вызвать неоднозначное
толкование.
Как и в непрерывном случае, уравнение состояния дополняется алгебраическим уравнением выхода. Если выход скалярный, то это уравнение имеет вид:
Оно
не изменяется при переходе от непрерывной
к дискретной системе. В общем случае
.
Решение уравнений состояния.
По
сути, уравнение состояния является
реккурентным соотношением. При
начальное значение
задано, воздействие
тоже известно. Из уравнения состояния:
;
;
и т. д.
Нетрудно получить общее выражение:
.
Здесь
–
общее решение
однородного разностного уравнения, а
–
частное решение неоднородного разностного
уравнения.
Можно
также получить решение уравнения
состояния, применив Z‑преобразование.
Пусть
–
Z‑преобразование
решетчатой функции
,
.
По свойствам Z‑преобразования
.
Тогда из уравнений состояния получим:
;
или
;
(
–
единичная матрица)
Решение:
.
Найдем
изображение выхода, считая
и полагая для простоты
и
скалярами:
.
Нетрудно
видеть, что
–
передаточная функция объекта и
.
Знаменателем
передаточной функции является
(Так как
),
а характеристическое уравнение объекта
.
Его корни называют также собственными
числами матрицы
.
Если выход и/или управление не скаляры, мы получим матрицу передаточных функций от каждого входа к каждому выходу.