![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •Анализ систем цифрового управления
- •Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •1. Математическое описание цифровых систем
- •1.1. Расчетная схема цифровой системы. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование
- •1.2. Математическое описание импульсного элемента
- •1.3. Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •1.4. Передаточная функция экстраполятора
- •Пример.
- •Z‑преобразования некоторых числовых последовательностей.
- •Пример. Найдём z‑преобразование единичной ступенчатой функции.
- •Некоторые функции времени и их преобразования Лапласа и z‑преобразования
- •1.6. Передаточная функция непрерывной части цсу
- •1.7. Передаточная функция эвм
- •1.8. Частотные характеристики цифровых систем
- •1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
- •2. Анализ систем цифрового управления
- •2.1. Управляемость и наблюдаемость
- •2.2. Устойчивость цифровых систем
- •Пример 1.
- •Решение
- •2.3. Динамические показатели качества цифровых систем управления и их взаимосвязь с характеристиками непрерывных систем
- •2.4. Оценка точности цифровых систем
- •3. Синтез цифровых систем с заданными характеристиками
- •3.1. Повторный синтез. (Цифровое перепроектирование)
- •Перепроектирование по передаточным функциям системы.
- •Пример.
- •Перепроектирование по переходному процессу системы замкнутой по переменным состояния.
- •3.2. Расчет компенсационных регуляторов по дискретной модели
- •3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •Определение алгоритма управления:
- •3.4. Расчет апериодических регуляторов (регуляторы с конечным временем установления)
- •Передаточная функция разомкнутой системы:
- •Отметим основные недостатки апериодических регуляторов:
- •3.5. Регуляторы состояния с заданным характеристическим уравнением
- •Пример.
- •3.6. Следящая система с заданным характеристическим уравнением
- •3.7. Регуляторы состояния при неполных измерениях. Наблюдатели состояния
- •3.8. Наблюдатели неполного порядка
- •3.9. Цифровое управление с учетом запаздывания
1.7. Передаточная функция эвм
На
вход ЭВМ поступают сигналы с АЦП, которые
мы рассматриваем как решетчатые функции
времени. Для последовательного регулятора
этот сигнал единственный, и пропорционален
ошибке системы. Обозначим его
(см. рис. 1.19). Выходной сигнал ЭВМ,
подающийся на вход ЦАП, также условно
считается решетчатым. Это сигнал
управления
.
В соответствии с принятыми допущениями ЭВМ может выполнять только линейные операции: сложение со знаком, умножение на константу и сдвиг во времени.
Тогда в самом общем виде алгоритм работы ЭВМ имеет форму:
Выполняя Z‑преобразование и вынося переменные, получим:
.
Отсюда:
.
Очевидно,
что дробь в правой части и есть передаточная
функция ЭВМ
.
Домножая числитель и знаменатель на
в старшей
степени, можно получить представление
по положительным
степеням
.
В таком представлении порядок числителя
передаточной функции
не может быть выше порядка знаменателя.
В противном случае алгоритм не реализуем,
так как от ЭВМ потребуется учитывать
предсказанные значения входного сигнала.
Если
алгоритм работы ЭВМ позиционный, т.е. в
установившемся режиме постоянному
входу соответствует постоянный выход,
то для такого режима по передаточной
функции можно найти коэффициент передачи
ЭВМ. Для этого достаточно в
положить
.
Алгоритм
работы ЭВМ может не быть позиционным и
содержать действия, аналогичные
интегрированию или дифференцированию.
В первом случае передаточная функция
будет содержать сомножители (один или
более) вида
,
а во втором – вида
.
1.8. Частотные характеристики цифровых систем
Рассмотрим сначала произвольный непрерывный линейный объект, (см. рис. 1. 20).
Стандартным
образом перейдем к частотной передаточной
функции, делая замену
.
Тогда
.
Эта передаточная функция имеет ясный
физический смысл: если входной сигнал
синусоидальный
,
то в установившемся режиме выход
,
амплитуда и фазовый сдвиг которого
вычисляются с помощью функции
по известным
формулам:
,
.
Для
дискретной системы
.
Здесь также можно сделать замену
,
переходя к частотной передаточной
функции
.
Однако соотношения для амплитуды выхода
и фазового сдвига при синусоидальном
воздействии, справедливые для непрерывной
системы, для дискретной системы
выполняются с достаточной точностью
только при
.
На высоких частотах выходной сигнал в
общем случае не является синусоидой.
Можно
доказать, что в силу периодичности
частотную характеристику дискретной
передаточной функции достаточно
определить в пределах
.
Удобнее этот диапазон расширить до
бесконечного с помощью замены независимой
переменной
,
.
Параметр
называют относительной псевдочастотой.
Видно, что прямая замена очень громоздка,
поэтому применяется так называемое
w-преобразование,
при помощи которого окружность единичного
радиуса
отображается на мнимую ось плоскости
комплексной величины
.
Для преобразования используется
подстановка:
; (1.17)
или, соответственно:
. (1.18)
Переход
осуществляется в очевидной последовательности
.
Нетрудно показать:
.
Итого, псевдочастотная характеристика получается элементарной подстановкой
.
Для
того, чтобы псевдочастота имела ту же
размерность, что реальная, её масштабируют:
.
Параметр
называют абсолютной псевдочастотой
или просто псевдочастотой. Чтобы получить
характеристику в функции абсолютной
псевдочастоты нужно в передаточной
функции
сделать замену
.
Заметим, что при дробно-рациональной
функция
также дробно-рациональна. При
имеем
и
.
Следовательно, на низких частотах
псевдочастота совпадает с реальной
частотой. На этих частотах можно
использовать приближенные формулы:
,
.
Пример.
Передаточная
функция разомкнутой системы имеет вид:
.
При
подстановке
получим
.
Построение частотных характеристик даже в этом простейшем случае оказывается затруднительным.
Используем
подстановку
.
Тогда
получим
.
Построение частотных характеристик по последнему выражению не представляет трудностей.