- •Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •Анализ систем цифрового управления
- •Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •1. Математическое описание цифровых систем
- •1.1. Расчетная схема цифровой системы. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование
- •1.2. Математическое описание импульсного элемента
- •1.3. Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •1.4. Передаточная функция экстраполятора
- •Пример.
- •Z‑преобразования некоторых числовых последовательностей.
- •Пример. Найдём z‑преобразование единичной ступенчатой функции.
- •Некоторые функции времени и их преобразования Лапласа и z‑преобразования
- •1.6. Передаточная функция непрерывной части цсу
- •1.7. Передаточная функция эвм
- •1.8. Частотные характеристики цифровых систем
- •1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
- •2. Анализ систем цифрового управления
- •2.1. Управляемость и наблюдаемость
- •2.2. Устойчивость цифровых систем
- •Пример 1.
- •Решение
- •2.3. Динамические показатели качества цифровых систем управления и их взаимосвязь с характеристиками непрерывных систем
- •2.4. Оценка точности цифровых систем
- •3. Синтез цифровых систем с заданными характеристиками
- •3.1. Повторный синтез. (Цифровое перепроектирование)
- •Перепроектирование по передаточным функциям системы.
- •Пример.
- •Перепроектирование по переходному процессу системы замкнутой по переменным состояния.
- •3.2. Расчет компенсационных регуляторов по дискретной модели
- •3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •Определение алгоритма управления:
- •3.4. Расчет апериодических регуляторов (регуляторы с конечным временем установления)
- •Передаточная функция разомкнутой системы:
- •Отметим основные недостатки апериодических регуляторов:
- •3.5. Регуляторы состояния с заданным характеристическим уравнением
- •Пример.
- •3.6. Следящая система с заданным характеристическим уравнением
- •3.7. Регуляторы состояния при неполных измерениях. Наблюдатели состояния
- •3.8. Наблюдатели неполного порядка
- •3.9. Цифровое управление с учетом запаздывания
3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
Рассматривается одноконтурная следящая система (см. рис. 3.5) с заданной передаточной функцией объекта . Для пояснения идеологии метода будем условно считать, что известна дискретная передаточная функция , хотя на самом деле первоначально задается непрерывная функция , а дискретная может быть найдена только после определения периода квантования .
Метод является графоаналитическим и использует псевдочастотные характеристики, поэтому от надо перейти к частоте по формуле . В результате расчетов получаем передаточную функцию регулятора , а затем , по которой определяется алгоритм управления.
По идеологии метода компенсационных регуляторов необходимо определить желаемую передаточную функцию ( ). В методе ЛЧХ используется желаемая передаточная функция разомкнутой системы. Если она найдена, то передаточную функцию регулятора легко найти по формуле:
.
Для построения желаемой передаточной функции задаются следующие исходные данные:
Требования к точности в установившихся режимах:
а) характеристики режима работы;
б ) допустимая ошибка .
Требования к динамике:
а ) требования к длительности переходного процесса: ;
б) требования к перерегулированию : .
Характеристики режима работы, как правило, четко не определены. Обычно задаются максимальные значения скорости и ускорения входного сигнала и , а сам входной сигнал считается синусоидальным (так называемая эквивалентная синусоида):
.
Амплитуду и частоту эквивалентной синусоиды легко найти из исходных данных. Дважды дифференцируя входной сигнал, получаем:
; .
О тсюда ; .
Амплитуда ошибки при синусоидальном входном сигнале определяется как:
; ; и .
Поскольку амплитуда ошибки должна быть меньше заданной допустимой ошибки, отсюда находится требование к модулю желаемой передаточной функции на частоте эквивалентной синусоиды:
.
Оно определяет так называемую критическую точку на логарифмической амплитудной характеристике (ЛАХ).
График ЛАХ, соответствующий (желаемой ЛАХ) должен быть выше . Для уточнения требований к желаемой ЛАХ на частотах в окрестности проведем следующие рассуждения.
Пусть максимальная скорость равна заданной, а максимальное ускорение меньше указанного в задании. Строя новые эквивалентные синусоиды и выполняя те же преобразования, что и выше, можно для разных значений получить ряд новых точек . Все эти точки находятся левее частоты и ложатся на асимптоту с наклоном –20 дБ/дек, проходящую через точку (см. рис. 3.6).
Фиксируя теперь и уменьшая можно получить новый ряд критических точек, лежащих на асимптоте с наклоном –40 дБ/дек, проходящую через точку правее частоты . Две эти асимптоты образуют запретную область по точности, в которую не должна заходить желаемая ЛАХ.
Перейдем к построению среднечастотного участка желаемой ЛАХ, т.е. участка, прилегающего к частоте среза. Он формируется исходя из требований к динамике системы. Оказывается, что требование неудобно для использования в частотных характеристиках, поэтому перерегулирование преобразуют в – показатель колебательности. График такого преобразования можно найти практически в любом учебнике по теории управления.
Построение начинается с определения частоты среза , которая находится на основании требований к длительности переходного процесса по формуле:
.
Множитель в числителе правой части выбирают тем большим, чем выше показатель колебательности.
Далее нужно выбрать период квантования из условия:
; .
Последнее требование должно выполняться с запасом в пять–десять раз во избежание потери устойчивости скорректированной системой.
Среднечастотный участок должен, как правило, иметь наклон –20 дБ/дек для обеспечения приемлемого качества переходного процесса. Границы среднечастотного участка определяются исходя из требований к показателю колебательности. Для левой границы среднечастотного участка должно выполняться следующее условие:
Сопрягающие частоты, меньшие частоты среза должны удовлетворять неравенству:
.
Для правой границы должно выполняться неравенство:
.
В правой части этого неравенства суммируются только те постоянные времени, которые меньше чем .
Требование к высокочастотной части желаемой ЛАХ единственное: наклон её высокочастотной асимптоты должен быть таким же, как наклон высокочастотной асимптоты ЛАХ объекта. Поскольку период квантования определен, передаточная функция может (и должна) быть определена и её ЛАХ построена. Кроме того, в желаемую передаточную функцию необходимо включить все неминимальнофазовые нули передаточной функции объекта. Их отличительным признаком является наличие знака «–» в сомножителях числителя .
Можно заметить, что метод не дает жесткого алгоритма нахождения желаемой передаточной функции, а лишь определяет некоторые граничные требование к ней. Это оставляет разработчику значительную свободу выбора, но предъявляет повышенные требования к его квалификации.
Порядок синтеза в самом общем виде содержит следующие этапы:
Определение требований к желаемой передаточной функции, построение желаемой ЛАХ и определение .
Изменение коэффициент передачи объекта таким образом, чтобы ЛАХ объекта нигде не лежала ниже желаемой ЛАХ путем ввода дополнительного усиления в непрерывной части системы. Если этого не сделать, то ЦВМ придется выполнять функции усилителя. Новую передаточную функцию объекта обозначим .
Определение и переход к , либо определение и и затем получение .
Нахождение алгоритма управления по известному .
Пример.
Проектируется следящая система для объекта с передаточной функцией ; ; ; .
Требования: ; ; ; ; .
Построение желаемой ЛАХ:
Построение запретной области и низкочастотного участка.
; .
Частота эквивалентной синусоиды (абсцисса критической точки):
.
Амплитуда синусоиды:
.
Ордината критической точки:
.
Построение среднечастотного участка.
Частота среза
; примем .
Вид низко- и среднечастотной части показан на рис. 3.7..
Левая граница среднечастотного участка
.
– условие выполняется.
По найденной частоте среза выбираем период квантования .
Перед проверкой требований к правой границе найдем дискретную передаточную функцию объекта.
.
– функция имеет два неминимальнофазовых нуля.
С учетом формы желаемой ЛАХ в низкочастотной части и наличия неминимальнофазовых нулей объекта запишем желаемую передаточную функцию в виде
.
Сомножитель выравнивает порядки числителя и знаменателя и обеспечивает нулевой наклон высокочастотной асимптоты.
Для правой границы среднечастотного участка должно выполняться следующее условие: сумма всех малых постоянных времени, лежащих правее частоты среза, должна удовлетворять неравенству:
.
Отсюда и .
Возможные варианты: или . Выберем второе.
Окончательно:
.