3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)

Рассматривается одноконтурная следящая система (см. рис. 3.5) с заданной передаточной функцией объекта . Для пояснения идеологии метода будем условно считать, что известна дискретная передаточная функция , хотя на самом деле первоначально задается непрерывная функция , а дискретная может быть найдена только после определения периода квантования .

Метод является графоаналитическим и использует псевдочастотные характеристики, поэтому от надо перейти к частоте по формуле . В результате расчетов получаем передаточную функцию регулятора , а затем , по которой определяется алгоритм управления.

По идеологии метода компенсационных регуляторов необходимо определить желаемую передаточную функцию ( ). В методе ЛЧХ используется желаемая передаточная функция разомкнутой системы. Если она найдена, то передаточную функцию регулятора легко найти по формуле:

.

Для построения желаемой передаточной функции задаются следующие исходные данные:

1. Требования к точности в установившихся режимах:

а) характеристики режима работы;

б ) допустимая ошибка .

2. Требования к динамике:

а ) требования к длительности переходного процесса: ;

б) требования к перерегулированию : .

Характеристики режима работы, как правило, четко не определены. Обычно задаются максимальные значения скорости и ускорения входного сигнала и , а сам входной сигнал считается синусоидальным (так называемая эквивалентная синусоида):

.

Амплитуду и частоту эквивалентной синусоиды легко найти из исходных данных. Дважды дифференцируя входной сигнал, получаем:

; .

О тсюда ; .

Амплитуда ошибки при синусоидальном входном сигнале определяется как:

; ; и .

Поскольку амплитуда ошибки должна быть меньше заданной допустимой ошибки, отсюда находится требование к модулю желаемой передаточной функции на частоте эквивалентной синусоиды:

.

Оно определяет так называемую критическую точку на логарифмической амплитудной характеристике (ЛАХ).

График ЛАХ, соответствующий (желаемой ЛАХ) должен быть выше . Для уточнения требований к желаемой ЛАХ на частотах в окрестности проведем следующие рассуждения.

Пусть максимальная скорость равна заданной, а максимальное ускорение меньше указанного в задании. Строя новые эквивалентные синусоиды и выполняя те же преобразования, что и выше, можно для разных значений получить ряд новых точек . Все эти точки находятся левее частоты и ложатся на асимптоту с наклоном –20 дБ/дек, проходящую через точку (см. рис. 3.6).

Фиксируя теперь и уменьшая можно получить новый ряд критических точек, лежащих на асимптоте с наклоном –40 дБ/дек, проходящую через точку правее частоты . Две эти асимптоты образуют запретную область по точности, в которую не должна заходить желаемая ЛАХ.

Перейдем к построению среднечастотного участка желаемой ЛАХ, т.е. участка, прилегающего к частоте среза. Он формируется исходя из требований к динамике системы. Оказывается, что требование неудобно для использования в частотных характеристиках, поэтому перерегулирование преобразуют в  – показатель колебательности. График такого преобразования можно найти практически в любом учебнике по теории управления.

Построение начинается с определения частоты среза , которая находится на основании требований к длительности переходного процесса по формуле:

.

Множитель в числителе правой части выбирают тем большим, чем выше показатель колебательности.

Далее нужно выбрать период квантования из условия:

; .

Последнее требование должно выполняться с запасом в пять–десять раз во избежание потери устойчивости скорректированной системой.

Среднечастотный участок должен, как правило, иметь наклон –20 дБ/дек для обеспечения приемлемого качества переходного процесса. Границы среднечастотного участка определяются исходя из требований к показателю колебательности. Для левой границы среднечастотного участка должно выполняться следующее условие:

Сопрягающие частоты, меньшие частоты среза должны удовлетворять неравенству:

.

Для правой границы должно выполняться неравенство:

.

В правой части этого неравенства суммируются только те постоянные времени, которые меньше чем .

Требование к высокочастотной части желаемой ЛАХ единственное: наклон её высокочастотной асимптоты должен быть таким же, как наклон высокочастотной асимптоты ЛАХ объекта. Поскольку период квантования определен, передаточная функция может (и должна) быть определена и её ЛАХ построена. Кроме того, в желаемую передаточную функцию необходимо включить все неминимальнофазовые нули передаточной функции объекта. Их отличительным признаком является наличие знака «–» в сомножителях числителя .

Можно заметить, что метод не дает жесткого алгоритма нахождения желаемой передаточной функции, а лишь определяет некоторые граничные требование к ней. Это оставляет разработчику значительную свободу выбора, но предъявляет повышенные требования к его квалификации.

Порядок синтеза в самом общем виде содержит следующие этапы:

1. Определение требований к желаемой передаточной функции, построение желаемой ЛАХ и определение .

2. Изменение коэффициент передачи объекта таким образом, чтобы ЛАХ объекта нигде не лежала ниже желаемой ЛАХ путем ввода дополнительного усиления в непрерывной части системы. Если этого не сделать, то ЦВМ придется выполнять функции усилителя. Новую передаточную функцию объекта обозначим .

3. Определение и переход к , либо определение и и затем получение .

4. Нахождение алгоритма управления по известному .

Пример.

Проектируется следящая система для объекта с передаточной функцией ; ; ; .

Требования: ; ; ; ; .

Построение желаемой ЛАХ:

1. Построение запретной области и низкочастотного участка.

; .

Частота эквивалентной синусоиды (абсцисса критической точки):

.

Амплитуда синусоиды:

.

Ордината критической точки:

.

2. Построение среднечастотного участка.

Частота среза

; примем .

Вид низко- и среднечастотной части показан на рис. 3.7..

Левая граница среднечастотного участка

.

 – условие выполняется.

По найденной частоте среза выбираем период квантования .

Перед проверкой требований к правой границе найдем дискретную передаточную функцию объекта.

.

 – функция имеет два неминимальнофазовых нуля.

С учетом формы желаемой ЛАХ в низкочастотной части и наличия неминимальнофазовых нулей объекта запишем желаемую передаточную функцию в виде

.

Сомножитель выравнивает порядки числителя и знаменателя и обеспечивает нулевой наклон высокочастотной асимптоты.

Для правой границы среднечастотного участка должно выполняться следующее условие: сумма всех малых постоянных времени, лежащих правее частоты среза, должна удовлетворять неравенству:

.

Отсюда и .

Возможные варианты: или . Выберем второе.

Окончательно:

.