28. Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.

Введём понятие нормы матрицы. Нормой матрицы назовем поставленное в соответствие этой матрице вещественное число ||A|| такое, что которое как вещественное число ставится в соответствие каждой матрице из n-мерного пространства и удовлетворяет 4 аксиомам:

1. ||A||0 и ||A||=0, только если A – нулевая матрица;

2. ||αA||=|α|·||A||, где  R;

3. ||A+B||||A||+||B||;

4. ||A·B||||A||·||B||. (свойство мультипликативности)

Норма матрицы, как и норма вектора, может быть введена различными способами. Матрицу A, например, можно рассматривать как n²-мерный вектор. Тогда естественным обобщением сферической (евкдидовой) нормы вектора будет являться следующая:

.

Эта норма называется евклидовой нормой матрицы.

Пусть выбрана некоторая норма вектора. Если для любой квадратной матрицы A и любого вектора x, размерность которого равна порядку матрицы, выполняется неравенство

||Ax||||A||·||x||,

то говорят, что норма матрицы A согласована с нормой вектора. Заметим, что слева в последнем условии стоит норма вектора (Ax – вектор).

С заданной векторной нормой согласованы различные матричные нормы. Выберем среди них наименьшую. Таковой будет

.

Эту матричную норму называют подчиненной заданной векторной норме. Существование максимума в этом выражении следует из непрерывности нормы, ибо всегда существует вектор x такой, что ||x||=1 и ||Ax||=||A||.

Нетрудно показать, что норма N(A) не подчинена ни одной векторной норме. Нормы матрицы, подчиненные ранее введенным векторным нормам, выражаются следующим образом:

1. ||A||_= |a_ij| (норма-максимум)

2. ||A||₁= |a_ij| (норма-сумма)

3. ||A||₂= , (спектральная норма)

где ₁ является наибольшим собственным значением симметричной матрицы AA, являющейся произведением транспонированной и исходной матриц. Поскольку матрица AA симметричная, то все ее собственные значения вещественны и положительны. Напомним, что число  называется собственным значением, а ненулевой вектор x – собственным вектором матрицы A, если они связаны между собой соотношением Ax=x. Если же матрица A сама является симметричной, A = A, то AA = A² и тогда ₁ = , где - наибольшее по модулю собственное значение матрицы A. Следовательно, в этом случае мы имеем

= .

Заметим, что собственные числа матрицы не превышают любой из ее согласованных норм. Действительно, нормируя определяющее собственные числа соотношение, получим

||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||||A||·||x||, |λ|||A||.

Вычисление спектральной нормы – трудоемкая задача. Однако, поскольку справедливо неравенство ||A||₂||A||_e, где евклидова норма вычисляется просто, в оценках вместо спектральной нормы можно использовать евклидову норму матрицы.