6. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и формул Крамера.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Если определитель отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной систем уравнений в случае ∆≠0

Умножив обе части уравнения А•Х=В слева на матрицу А^-1, получим А^-1 •A•X= А^-1•B. Поскольку А^-1•=А•Е и Е•Х=Х, то Х= А^-1•В

Поиск решения системы по формуле называют матричным способом решения системы.

Формулы Крамера:

х_j=∆_i/∆, i=1,n (полоска над 1,n)

7.Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса.

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

……………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому ( в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+a_1kx_k+…+ a_1nx_n=b₁

a₂₂x₂+…+a_2kx_k+…+a_2nx_n=b₂

…………………………………………………

a_kkx_k+…+a_mnx_n=b_m

Прямой ход. Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого(используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на –а21/а11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на –а31/а11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n=b₁

⁽¹⁾a₂₂x₂+…+⁽¹⁾a_2nx_n=⁽¹⁾b₂

……………………………………………

⁽¹⁾a_m2x₂+…+⁽¹⁾a_mnx_n=⁽¹⁾b_m

Здесь ⁽¹⁾а_ij, ⁽¹⁾b_i (I,j=2,m)- новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом ⁽¹⁾а₂₂≠0, исключим неизвестное х₂ из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида = b_i, a b_i≠0, то это свидетельствует о несовместимости системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное х_k через остальные неизвестные (x_k+1,…,x_n). Затем подставляем значение х_k в препоследнее уравнение системы и выражаем х_k-1 через (x_k+1,…,x_n); затем находим x_k+2,…,x₁. Придавая свободным неизвестным (x_k+1,…,x_n) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k=n, то исходная система имеет единственное решение.

2. На практике удобнее работать не с системой а с её расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над её строками.