1. Матрицы. Действия над матрицами.

Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины).

Матрицы равны, если все эл-ты этих матриц соответственно равны.

Квадратная матрица – m=n

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главное диагонали равны нулю называется диагональной

Диагональная матрица у которой каждый элемент главное диагонали равен единице называется единичной

Действия над матрицами.

Сложение – суммой двух матриц называется матрица С _mxn=(c_ij)

Умножение на число – произведением матрицы называется на число k называется матрица такая что матрица х число.

2. Элементарные преобразования матриц.

Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы

Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля

Прибавление ко всем эл-там ряда матрицы соответствующих эл-тов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число

Две матрицы эквивалентны если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Произведение матриц.

Произведением матриц называется матрица С _mxp=(с_ik)

Если матрицы одного размера то их произведения существуют всегда.

3. Определители.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A называемое её определителем:

n = 1. A=(a₁); det A = a₁.

n = 2. Det A = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁

n = 3. Det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃-a₂₁a₁₂a₃₃ – a₃₂a₂₃a₁₁

Определителем(детерминантом) 1-го порядка квадратной матрицы А=(а₁₁) называется значение а₁₁:det A= a₁₁.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников

«+»

«-»

1) Правило треугольников (правило Саррюса)вычисления определителей 3го порядка: первое из трех слагаемых. Входящих в сумму со знаком «+», есть произведение элементов главное диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основанниями, параллельными главной диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «-» определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали.

2) Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:

При таком способе вычисления определителя каждый из трех элементов а_1j первой строки умножается на определитель 2-го порядка, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания 1-й строки и j-го столбца. При этом слагаемое с множителем а_1j умножается на число (-1)^1+j:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

Det A = (-1)¹⁺¹•a₁₁• a₂₁ a₂₂ a₂₃ + (-1)¹⁺² • a₁₂ • a₂₁ a₂₂ a₂₃ +(-1)¹⁺³ • a₁₃ • a₂₁ a₂₂ a₂₃ .

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей 2-го порядка. В общем случае можно вычислять определитель n-го порядка квадратной матрицы А, сводя его к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

3. Разложение определителя n-го порядка по первой строке. Люто ничего не понел.

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель n–1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_ij.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j– четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначется А_ij:A_ij=(-1)^i+j•m_ij.

Дополнительным минором M_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А называется минор, составленный из элементов А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства определителей.

1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.

2. Если какие-либо две строки (два столбца) определителя пропорциональный, то определитель равен 0.

3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число.

4. Если две строки (два столбца) определителя прибавить поменять местами, то определитель изменит знак.

5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной. (кэп?)

7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.