4. Обратная матрица.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие А•A^-1=A^-1•A=E, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Ичотипавсё? О_о

5.Системы линейных уравнений.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

……………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

где числа а_ij, i=1,m, j=1,n называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме. А•Х=В

Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

a₁₁ а₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

A=

x₁

x₂

x_n

вектор-столбец из неизвестных x_j.

X=

b₁

b₂

b_n

вектор-столбец из свободных членов b_j.

B=

Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов

a₁₁ a₁₂… a_1n b₁

a₂₁ a₂₂… a_2n b₂

… …… … …

a_m1 a_m2… a_mn b_m

А=

Решением системы называется n значений неизвестных х₁ = с₁, х₂=с₂, x_n = c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрица-столбца

с₁

с₂

с_n

С=

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения . В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна ли она или несовместна. Если система совместна, то найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то де общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна, так как х₁=х₂=…=x_n=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Теорема Кронкера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. (тысячи их!)