6) Правила контроля и построения эпюр. Статическая проверка: части бруса, вырезанного элемента и вырезанного узла.

1. На ненагруженных участках (q = О): эпюра М-наклонная прямая (М изменяется по линейному закону); эпюра Q - прямая, параллельная оси (Q = const).

2. На участках с равномерно распределенной нагрузкой (q=const): эпюра М - квадратная парабола, обращенная выпуклостью в сторону действия нагрузки; эпюра Q - наклонная прямая (линейный закон).

3. На участке, где М - алгебраически возрастает слева направо, Q > 0; М - убывает, Q < 0;

М = const, Q = 0 - чистый изгиб.

4. Если на некотором участке эпюра М имеет экстремум, то Q проходит нулевое значение. Если М - mах, то Q от «+» к «-»; если М - min, то Q от «-» к «+».

5. В сечении под сосредоточенной силой: на эпюре М - излом, острие которого обращено в сторону действия силы; эпюра Q имеет скачок (по величине и направлению равный силе).

6. В сечении под сосредоточенным моментом: эпюра М имеет скачок, равный значению момента; эпюра Q - без изменений.

7. На концевой шарнирной опоре, где нет внешней пары (m= 0), изгибающий момент М = 0.

8. Изменение М на участке z равно площади эпюры Q на этом участке (следует из выражения.

9. Изменение эпюры Q на некотором участке z равно площади эпюры q на этом участке (это следует из, т. к. интеграл - это площадь)

7) Понятие о напряжении. Вывод формул. Полное напряжение в точке на данной площадке и его составляющие (компоненты). Напряженное состояние в точке.

Мерой распределения внутренних сил по сечению является напряжение.

Внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке, называется напряжением.

Рассмотрим отсеченную часть бруса. В окрестности точки К выделим элементарную площадку М, в пределах которой равнодействующая внутренних сил равна ΔR (некоторая часть главного вектора R)

ΔR/ΔА=р_m среднее напряжение на площадке ΔА

полное напряжение в точке

Но по разным направлениям площадок вблизи одной и той же точки напряжения будут иметь различные значения. Совокупность напряжений, действующих по различным площадкам, проходящим через данную точку,

8) Интегральная зависимость между внутренними силовыми факторами. Вывод.

П усть в некоторой точке бесконечно малой площадки dA выявлены напряжения

Просуммировав напряжения по площадке dA, получим элементарные внутренние усилия:

Запишем моменты сил относительно осей координат:

Просуммируем элементарные внутренние усилия и их моменты по площади сечения А:

Эти выражения называются интегральными уравнения равновесия или статическими уравнениями.

Записанные статические уравнения не позволяют определить напряжения, пока не установлен закон их распределения по сечению.

9) Понятие о деформации и перемещении. Классификация видов деформаций: абсолютные и относительные, линейные и угловые, простые и сложные, упругие и пластические. Компоненты линейной и угловой деформации в точке. Понятие о деформированном состояние в точке.

И зменение формы и размеров тела в результате внешнего воздейст­вия (нагрузка, температура и другое) называется деформацией.

Введем понятие линейной деформации как количественной меры изме­нения размеров в окрестности точки А. Проведем в недеформированном теле отрезок АВ длиной а. После деформации точки займут поло­жение А1 и В1, и расстояние между ними станет (a+Δa).

Векторы АА1 и ВВ1 полные перемещения точек А и В

Δa абсолютная линейная деформация (линейное удлинение, линейное перемещение)

Δа/а=ε относительная линейная деформация или просто деформация.

относительная линейная деформация в точке А по направлению АВ (является малой, безразмерной величиной). Компоненты линейных деформаций в координатных осях ε_x, ε_y, ε_z; компоненты полного перемещения точки – u, v, w.

Введем понятие угловой деформации. Изменение первоначально пря­мого угла ВАС после приложения нагрузки, выраженное в ра­дианах, представляет собой угловую деформацию или относительный сдвиг γ.

относительная угловая деформация в точке А в плоскости ВАС Компоненты угловой деформации обозначают γ_xy, γ_zy, γ_zx.

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направ­лениям и плоскостям для одной точки называется деформированным состоянием в этой точке.

Определение деформаций связано с расчетом на жесткость и выяс­нением законов распределения напряжений в брусе при различных нагружениях. Различают простые деформации: растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб и сложные, состоящие из двух и более простых деформаций.

В зависимости от свойств материала и величины нагрузок деформа­ции бывают упругие - полностью исчезающие после удаления нагрузок, и пластические или остаточные - неисчезающие, остающиеся после уда­ления нагрузок.

10) Растяжение и сжатие. Дать определение и привести примеры из инженерной практики. Вывод формулы нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня. Гипотеза Бернули и принцип Сен-Венана. Формула напряжений при наличии ослаблений.

Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид нагружения бруса, при котором внутренние силы в поперечном сечении приводятся только к продольной силе N

На растяжение работают тросы, линии высоковольт­ных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колон­нах, поддерживающих перекрытия, в фабричной трубе, в кирпичной кладке от собственного веса.

Вывод формул для напряжений в стержнях:

1. Статическая сторона задачи - запись интегральных уравнений равновесия;

2. Геометрическая сторона задачи - изучение деформаций на основе опыта и гипотез;

3. Синтез - совместное решение полученных уравнений;

4. Физическая сторона задачи определяется законом Гука.

Рассмотрим стержень, нагруженный силой F. Для произ­вольного сечения z статическая сторона задачи выражается равнением , где А площадь поперечного сечения бруса.

Рассмотрим модель стержня, на боковой поверхности которого нанесена ортогональная сетка из продольных и поперечных линий.

После нагружения можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей.

Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли: сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, ос­таются плоскими и перпендикулярнымими оси в процессе деформации.

Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и ту же величину, и их относительное удлинение одинаково.

Геометрическая сторона задачи выражается уравнением

Физическая сторона задачи заключается в установлении зависимости деформаций от напряжений. При упругих деформациях эта зависимость линейна, и, как известно, называется законом Гука: .

E=const для однородных и изотропных материалов σ=const

Получаем

Окончательно

В поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отноше­нию продольной силы к площади сечения.

Формула справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки. При расчетах руководствуются принципом Сен-Венана, который можно изложить так: способ приложения внешних сил влияет на распределение напряжений только в области их приложения.

Поэтому нарушение равномерности распределения напряжений вблизи мест приложения нагрузки носит местный характер. При расчетах эта часть стержня исключается из рассмотрения, что позволяет пользоваться формулой.

Исследования показали, что равномерное распределение напряжений по площади сечения, которое дает формула, будет только в тех случаях, ко­гда по длине стержня поперечные сечения постоянны. Резкие изменения попе­речного сечения (отверстия, канавки) приводят к неравномерному распределе­нию напряжений, вызывают концентрацию напряжений. При наличии ослабления в пластине (например, заклепочными отверстиями) следует вводить площадь нетто A_net = А - А_{ослаблен}

На основе предположения об отсутствии концентрации напряжений по фор­муле вычисляется среднее напряжение в ослабленном сечении пластины: