Изоморфизм

П усть имеются два линейных пространства разной природы:   с операцией   и   с операцией  . Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства   и   изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если   и   то   и .

При изоморфизме пространств   и   нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

Пример. Пространство   изоморфно пространству  . В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием

Пример. Пространство  -матриц изоморфно пространству . Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая  :

(матрица «вытягивается» в одну строчку).

Пример. Пространство квадратичных форм от   переменных изоморфно пространству симметричных матриц  -го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая  :

Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «для образца»? — См. концовку следующего пункт

46) Собственные числа и собственные векторы

        Определение 19.3   Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного преобразования   , соответствующим собственному числу   , если   .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования  конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования   .         

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение,характеристическое число или характеристическое значение.

Если    -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае   ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В  примере 19.2 при   не кратном   преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

        Пример 19.7   Пусть    -- двумерное векторное пространство,    -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,    -- преобразование, переводящее каждый вектор   в вектор   , симметричный исходному относительно прямой   (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор   , он соответствует собственному числу   , и вектор   , который соответствует собственному числу   . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой   , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной   и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу   .

47) У матрицы A , размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению  

det(A − λI) = 0, 

я вляющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Н апример,

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ₁,..., λ_N матрицы A называется спектром A. 

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

 det(A) = λ₁×...×λ_N,              

  Sp(A) = λ₁+...+λ_N.

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (A^t = A), то ее собственные значения вещественны. 

48)Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение в математике.

Привычная функция отображает одно число (аргумент) на другое (значение функции). Функция нескольких переменных отображает вектор (ряд чисел) на число. В случае отображения вектора на вектор, отображение чаще называют оператором. А поскольку функции относятся к векторам (аргумент функции служит индексом, при этом количество элементов может достигать континуума для недискретных функций), операторы часто применяются к функциям. Таким образом оператор можно считать обобщением функции: если функция оперирует числами, возвращая число, то оператор принимает и возвращает ряд чисел, то есть оперирует функциями.

Наиболее часто встречающиеся операторы:

• Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).

• Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).

• Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).