2.2 Основные элементарные функции комплексного переменного
Основные элементарные функции комплексного переменного могут быть определены следующим образом.
1.
Показательная
функция
:
Если показатель степени является комплексным числом, то определение показательной функции теряет смысл. Поэтому показательная функция с комплексным показателем определяется с помощью равенства:
. (20)
Показательную функцию определяют также соотношением:
или
. (20')
Можно показать, что все три определения равносильны.
Функция обладает следующими свойствами:
1)
Областью определения показательной
функции является все множество комплексных
чисел, т.е.
.
2) Найдем модуль и аргумент показательной функции. Из формулы (20) следует, что
,
,
.
3)
Область значений показательной функции
все множество
,
кроме нуля, т.к.
;
4)
;
5)
;
показательная функция периодическая
с основным периодом
.
6)
– формула
Эйлера.
2.
Тригонометрические
функции
и
:
Для и приняты следующие определения:
(21)
(22)
Для
функций
,
и
имеют место формулы Эйлера:
(23)
(24)
Равенства (23) и (24) также принимаются за определения и .
Эти функции обладают следующими свойствами:
1)
Тригонометрические функции
и
определены для
,
т.к. для всех
определена показательная функция
.
2)
.
3)
,
.
Замечание 1. Обычным образом из основного тригонометрического тождества и теорем сложения можно получить обычные тригонометрические формулы: формулы приведения, и кратного аргумента, формулы понижения степени и т.д.
Замечание
2. На комплексной
плоскости
и
может быть больше 1.
4)
Функции являются периодическими с
периодом
.
3.
Тригонометрические
функции
и
определяются равенствами
,
(25)
Для тригонометрических функций сохраняются свойства "действительной" тригонометрии.
4.
Гиперболические
функции
определяются равенствами:
(26)
(27)
(28)
Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается связь:
(29)
Справедливы также соотношения
(30)
(31)
5.
Логарифмическая
функция
– комплекснозначный
логарифм
– определяется как функция, обратная
показательной
.
При этом
, (32)
есть запись логарифмической функции в алгебраической форме.
Вводится
понятие
главного значения (однозначной ветви)
,
так как из формулы (32) следует, что
является
бесконечнозначной функцией.
Свойства логарифмической функции:
1) Логарифмическая функция определена во всем множестве кроме нуля.
2)
.
3)
.
4)
.
Замечание.
1) Пусть
– положительное действительное число,
значит
.
В
этом случае логарифмическая функция
принимает бесконечное множество
значений, одно из которых при
действительно, т.е. главное значение
логарифма совпадает с логарифмической
функцией действительного аргумента.
2) – отрицательное действительное число, значит
.
Заметим,
что ни при каких
содержимое скобки в нуль не обращается,
значит, логарифм отрицательного
действительного числа имеет бесконечное
множество значений, ни одно из которых
не является действительным.
6.
Обратные
тригонометрические функции
определяются как решения
соответствующих
уравнений (например, функция
есть обратная
по отношению к функции
,
т.е. это решение уравнения
)
Все эти функции бесконечнозначны и
выражаются
через логарифмические функции:
; (33)
; (34)
; (35)
. (36)
7. Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам:
; (37)
; (38)
; (39)
. (40)
8.
Общая степенная
функция
определяется по формуле
(
,
– комплексные числа). (41)
Пусть
.
Степенная функция бесконечнозначна,
если
или
-
число иррациональное.
9.
Общая
показательная функция
.
По определению
. (42)
Из
представления
видно, что эта функция представляет
собой совокупность отдельных функций,
отличающихся друг от
друга множителем
,
.