2 Функции комплексного переменного

2.1 Основные геометрические понятия. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного

Определение 1. Областью, или открытой областью, называется множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

2) всякие две точки области можно соединить непрерывной линией (непрерывная линия – множество точек плоскости, координаты которых заданы как непрерывные функции), целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Рисунок 10

Часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура L (см. рисунок 10), является областью, т.к. во-первых, для любой точки М, лежащей внутри L, существует окрестность, также лежащая внутри L; во-вторых, две любые точки M и N лежащие внутри L, можно соединить непрерывной линией, также лежащей внутри L.

Определение 2. -окрестностью точки называется открытый круг радиуса с центром в точке :

. (17)

Определение 3. Точка M называется внутренней точкой области D, если существует такая окрестность этой точки, в которой содержатся только точки принадлежащие области.

Определение 4. Точка P называется внешней точкой области D, если существует такая окрестность этой точки, в которой содержатся только точки не принадлежащие области.

Определение 5. Точка К называются граничной точкой области D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие области D, так и точки ей не принадлежащие.

Определение 6. Множество всех граничных точек области называется ее границей. L – граница области D.

Определение 7. Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью; обозначается это .

Определение 8. Если для данной области можно подобрать круг, полностью ее покрывающий, то такая область называется ограниченной.

В противном случае область называется неограниченной.

Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной − -окрестность точки .

Определение 9. Область D (открытая или замкнутая) называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит область D.

Пример неодносвязной области показан на рисунке 11.

Рисунок 11

Определение 10. Говорят, что в области определена функция , если поставлено в соответствие (по некоторому закону соответствия) одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений . Пусть . Тогда

(18)

Функция комплексного переменного (18) не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных и :

и . (18')

Причем функция называется действительной частью функции и обозначается , функция называется мнимой частью функции и обозначается .

Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости на соответствующие точки комплексной плоскости (формула (18')).

Пусть в плоскости (z) кривая задана уравнением . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений

(19)

Если кривая задана параметрическими уравнениями или , то параметрические уравнения ее образа при отображении будут такими:

( )

Пример 1. Даны множества точек: a) ; б) ; в) ; г) . Какие из этих множеств являются областями?

В соответствии с определениями 1–9 заключаем, что множество – открытый круг с центром в точке радиуса 3, множество – открытое круговое кольцо с центром в начале координат, – открытый угол (рис. 7) – являются областями. Построив множество г) (рисунок 12), убеждаемся, что оно не является областью (не выполняется для него условие связности).

Рисунок 12

Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции .

Имеем ; отсюда ; .

Пример 3. В какую кривую отображается единичная окружность с помощью функции ?

Получаем ; . Исключая и из уравнений ; ; , получаем . Таким образом окружность преобразуется при преобразовании в окружность в плоскости . Так как , то, когда точка описывает полную окружность , ее образ (точка ) описывает две полные окружности .