2 Функции комплексного переменного
2.1 Основные геометрические понятия. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
Определение 1. Областью, или открытой областью, называется множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:
1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);
2) всякие две точки области можно соединить непрерывной линией (непрерывная линия – множество точек плоскости, координаты которых заданы как непрерывные функции), целиком лежащей в этой области (свойство связности).
Рисунок 10
Часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура L (см. рисунок 10), является областью, т.к. во-первых, для любой точки М, лежащей внутри L, существует окрестность, также лежащая внутри L; во-вторых, две любые точки M и N лежащие внутри L, можно соединить непрерывной линией, также лежащей внутри L.
Определение 2. -окрестностью точки называется открытый круг радиуса с центром в точке :
. (17)
Определение 3. Точка M называется внутренней точкой области D, если существует такая окрестность этой точки, в которой содержатся только точки принадлежащие области.
Определение 4. Точка P называется внешней точкой области D, если существует такая окрестность этой точки, в которой содержатся только точки не принадлежащие области.
Определение 5. Точка К называются граничной точкой области D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие области D, так и точки ей не принадлежащие.
Определение 6. Множество всех граничных точек области называется ее границей. L – граница области D.
Определение 7. Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью; обозначается это .
Определение 8. Если для данной области можно подобрать круг, полностью ее покрывающий, то такая область называется ограниченной.
В противном случае область называется неограниченной.
Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной − -окрестность точки .
Определение 9. Область D (открытая или замкнутая) называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит область D.
Пример неодносвязной области показан на рисунке 11.
Рисунок 11
Определение 10. Говорят, что в области определена функция , если поставлено в соответствие (по некоторому закону соответствия) одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений . Пусть . Тогда
(18)
Функция комплексного переменного (18) не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных и :
и . (18')
Причем функция называется действительной частью функции и обозначается , функция называется мнимой частью функции и обозначается .
Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости на соответствующие точки комплексной плоскости (формула (18')).
Пусть в плоскости (z) кривая задана уравнением . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений
(19)
Если кривая задана параметрическими уравнениями или , то параметрические уравнения ее образа при отображении будут такими:
( )
Пример 1. Даны множества точек: a) ; б) ; в) ; г) . Какие из этих множеств являются областями?
В соответствии с определениями 1–9 заключаем, что множество – открытый круг с центром в точке радиуса 3, множество – открытое круговое кольцо с центром в начале координат, – открытый угол (рис. 7) – являются областями. Построив множество г) (рисунок 12), убеждаемся, что оно не является областью (не выполняется для него условие связности).
Рисунок 12
Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции .
Имеем ; отсюда ; .
Пример 3. В какую кривую отображается единичная окружность с помощью функции ?
Получаем ; . Исключая и из уравнений ; ; , получаем . Таким образом окружность преобразуется при преобразовании в окружность в плоскости . Так как , то, когда точка описывает полную окружность , ее образ (точка ) описывает две полные окружности .