7.3. Начальные сведения об уравновешивании механизмов

Задача уравновешивания механизма может быть сформулирована следующим образом: для уравновешивания сил инерции механизма надо так подобрать массы его звеньев, чтобы их общий центр масс (центр тяжести) во время движения механизма оставался неподвижным (статическое уравновешивание), а суммарный момент сил относительно центра масс был равен нулю (динамическое уравновешивание).

С т а т и ч е с к а я з а м е н а м а с с ы с т е р ж н е в о г о з в е н а д в у м я т о ч е ч н ы м и м а с с а м и . Эта задача является вспомогательной в проблеме уравновешивания механизмов. Для статической замены массы m реального звена AB двумя точечными (сосредоточенными) массами и (рис. 7.11) учитываются следующие условия: во-первых, сумма точечных масс должна быть равна массе звена; во-вторых, сумма статических моментов точечных масс относительно центра масс звена должна быть равна нулю.

Первое условие даёт следующее уравнение: Второе условие означает, что центр масс S реального звена после статической замены его массы остаётся в той же точке, тогда или

Решая совместно оба уравнения, составляющие систему

находим и .

С т а т и ч е с к о е у р а в н о в е ш и в а н и е ч е т ы р ё х ш а р н и р н о- г о м е х а н и з м а. Пусть в четырёхшарнирном механизме OABC (рис. 7.12) известны массы подвижных звеньев: – масса кривошипа 1, – масса шатуна 2 и – масса коромысла 3. Известны также длины звеньев: – длина кривошипа, – длина шатуна и – длина коромысла. Положения центров масс подвижных звеньев определены их расстояниями: – от точки O до центра масс кривошипа, – от точки A до центра масс шатуна и, наконец, – от точки C до центра масс коромысла.

Заменим массы кривошипа, шатуна и коромысла двумя точечными массами каждое и определим величины этих масс.

Согласно приведённым выше уравнениям получим следующие выражения для их расчёта: , , , , и .

П ервый вариант уравновешивания (рис. 7.12). Точечные массы, расположенные в точках O и C, неподвижны, поэтому не требуют каких-либо действий. Точечную массу в точке A величиной следует уравновесить противовесом , расположив его за точкой O. При этом общий центр массы и должен располагаться в точке O. Тогда можно записать уравнение , откуда, приняв произвольно радиус установки противовеса, находим его массу: . Аналогичным образом поступаем с массой в точке B, определяемой суммой . Из условия равенства статических моментов масс и относительно точки C имеем , откуда ( выбирается произвольно).

В торой вариант уравновешивания (рис. 7.13). Разнесём массы звеньев 1, 2 и 3 в точки O, A, B и C по методике, изложенной выше, и обозначим суммарную массу в точке A как и суммарную массу в точке B как . Массы, сосредоточенные в точках O и C, остаются неподвижными. На продолжении шатуна влево от точки A поместим противовес массой на некотором радиусе для смещения общего центра масс, связанных с шатуном, в точку A. Для этого необходимо выполнить следующее условие: , откуда находим . Теперь на продолжении кривошипа за точку O устанавливается противовес на радиусе при условии выполнения следующего равенства:

. Решая это равенство относительно , находим

.

Радиусы установки противовесов и выбираются произвольно.

Можно установить противовес на продолжении шатуна вправо от точки B. Тогда, вместо противовеса на кривошипе, необходимо установить противовес на коромысле 3 за точкой C. Необходимые расчёты аналогичны предыдущим.

С п о с о б ы с т а т и ч е с к о г о у р а в н о в е ш и в а н и я к р и в о - ш и п н о-п о л з у н н о г о м е х а н и з м а. Способ противовесов аналогичен тому, который применяется для уравновешивания четырёхшарнирного механизма во втором варианте (рис. 7.14). Сначала уравновешиваются сосредоточенная масса шатуна и масса ползуна 3 с помощью противовеса , устанавливаемого на продолжении шатуна 2 за точку A. В результате такой операции общий центр масс шатуна и ползуна сместится в точку A. Величина массы противовеса определится из уравнения , решая которое относительно , находим .

Теперь общую массу шатуна, ползуна и противовеса необходимо уравновесить противовесом , устанавливаемым на продолжении кривошипа за точку O. Для этого составляется уравнение , из которого определяем . Радиусы установки противовесов выбираются произвольно.

Способ дополнительных кинематических цепей. Пусть имеется кривошипно-ползунный механизм OAB (рис. 7.15) с длиной кривошипа 1, равной , и длиной шатуна 2, равной и массой . К шатуну в точке B присоединён ползун 3 массой . С помощью статического разноса массы шатуна 2 по двум точкам получаем в точке A массу , в точке B – массу . После этого в точке B появится суммарная масса .

Ускорение точки B приближённо определяется уравнением , где – это отношение длины кривошипа к длине шатуна, то есть , – угол поворота кривошипа, – его угловая скорость. Поэтому сила инерции массы точки B определится уравнением , или . Направление силы инерции противоположно ускорению точки B.

Продлим кривошип 1 за точку O и на некотором расстоянии от неё возьмём точку A′ , в которой к кривошипу 1 присоединим шатун 2′ длиной , а к его концу B′ присоединим ползун 3′. При выборе длин и сохраним их отношение таким же, как и в основной части механизма. В результате справа от точки O получится кривошипно-ползунный механизм, подобный данному, но с другими размерами. Распределив массу шатуна 2′ по его концевым точкам, получим в точке B′ массу . Во всех положениях механизма точки B и B′ движутся навстречу друг другу, и их ускорения направлены постоянно навстречу друг другу. При этом ускорение точки B′ определяется таким же уравнением как и точки B, то есть . Сила инерции массы точки B′ определяется как .

Так как силы инерции, противоположные соответствующим ускорениям, направлены навстречу друг другу, то они могут и уравновесить друг друга при условии равенства их величин, то есть чтобы . Приравнивая правые части выражений этих сил и сокращая на одинаковые множители, имеем , откуда получаем необходимое соотношение масс: . Это соотношение показывает, что для уравновешивания поступательно движущихся масс кривошипно-ползунного механизма, при использовании уравновешивающего механизма аналогичной схемы, необходимо, чтобы поступательно движущаяся масса уравновешивающего механизма была обратно пропорциональной отношению длин кривошипов.

Что касается уравновешивания самих кривошипов и связанных с ними масс шатунов, то эта задача относится к ранее рассмотренной задаче статического уравновешивания вращающихся звеньев и затруднений не вызывает.

На основе рассмотренной задачи в практике (например, в некоторых поршневых машинах) применяются механизмы кривошипно-ползунной схемы, у которых имеют место равенства и . Тогда оба механизма становятся симметричными относительно точки O, и каких-либо мероприятий по уравновешиванию для них не требуется. Такие механизмы называются самоуравновешенными.

Ч а с т и ч н о е у р а в н о в е ш и в а н и е с и л и н е р ц и и п о с т у- п а т е л ь н о д в и ж у щ и х с я м а с с к р и в о ш и п н о-п о л з у н н о г о м е х а н и з м а. Как указывалось выше, сила инерции поступательно движущихся масс кривошипно-ползунного механизма определяется уравнением , в котором – масса, сосредоточенная в точке B и равная . Силу инерции можно представить в виде суммы , в которой первое слагаемое правой части называется силой инерции первого порядка , второе слагаемое – силой инерции второго порядка . Таким образом, а . Так как , то , поэтому часто ограничиваются уравновешиванием силы инерции первого порядка.

Противовес массой устанавливается на продолжении кривошипа за точку O на радиусе (рис. 7.16). Он должен быть подобран таким образом, чтобы его горизонтальная составляющая силы инерции была равна силе инерции первого порядка, то есть .

Как видно из рис. 7.16, горизонтальная составляющая силы инерции противовеса . Таким образом, имеем равенство , сократив которое на одинаковые множители, получаем . Отсюда находим массу противовеса .

С помощью горизонтальной составляющей силы инерции данного противовеса уравновешивается сила инерции первого порядка поступательно движущихся масс механизма. Однако появляется неуравновешенная вертикальная составляющая этой силы инерции. Чтобы её уравновесить, вместо одного противовеса на кривошипе используют два одинаковых по массе противовеса, которые устанавливают на равных радиусах на двух зубчатых колёсах, образующих внешнее зацепление (рис. 7.17). Одно из колёс жёстко связывают с кривошипом, и тогда оно вращается с ним как одно целое. Второе вращается в противоположную сторону. Массы противовесов подбираются так, чтобы сила инерции каждого из них была равна половине той силы инерции, которая создаётся одним противовесом в предыдущей задаче. В любом положении механизма горизонтальные составляющие этих двух сил в сумме дадут силу инерции , которая уравновешивает силу инерции . Вертикальные же составляющие получаются равными друг другу и противоположно направленными, поэтому уравновешивают друг друга.

Замечание. Для уравновешивания силы инерции второго порядка необходимо применить дополнительную систему зубчатых колёс с вдвое меньшим количеством зубьев, чтобы они вращались вдвое быстрее, чем данные. Это требование объясняется тем, что в выражении силы инерции второго порядка аргументом косинуса является . Значит, этот аргумент изменяется вдвое быстрее, чем . Противовесы должны быть установлены на этих колёсах. Подробное решение задачи здесь не рассматривается.