6.3. Формы уравнений движения машин

У р а в н е н и е д в и ж е н и я в и н т е г р а л ь н о й ф о р м е. Основой для вывода уравнения служит соотношение между работой и энергией, вытекающее из теоремы об изменении кинетической энергии системы , которое можно представить в виде равенства . В этом равенстве: – текущее значение кинетической энергии; – начальное значение кинетической энергии; – работа движущих сил, выполненная от начального до текущего момента времени; – работа сил сопротивления, выполненная за то же время.

Величины энергий и работ определяются следующими равенствами:

, , , .

Подставляя эти выражения в вышезаписанное равенство, получаем окончательный вид уравнения:

.

В правой части уравнения подынтегральные выражения представляют собой функции от угла поворота кривошипа, то есть перемещения. Это значит, что данные функции могут быть определены, только если внешние силы также зависят от перемещений. Данное обстоятельство определяет область применения уравнения в интегральной форме.

Так как в правой части уравнения параметры интегрирования и пределы интегрирования совпадают, то подынтегральные выражения можно записать под одним знаком интеграла, то есть

,

где – избыточный момент, определяемый суммой .

Необходимо иметь в виду, что во всех вычислениях приведённые моменты сил должны подставляться в формулы со своими знаками.

У р а в н е н и е д в и ж е н и я в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й ф о р м е . Внешние силы, действующие в машинах, могут зависеть не только от перемещений, но и от скоростей, и от времени. В этих случаях уравнение в интегральной форме неприменимо. Для исследования динамики таких машин применяют более универсальное уравнение, а именно, уравнение в дифференциальной форме. Оно может быть получено из уравнения в интегральной форме путём дифференцирования его по .

.

Сделав замену и выполнив несложные преобразования, получим окончательно

.

Первое слагаемое левой части представляет собой момент сил инерции, как следствие изменения . Второе слагаемое представляет также момент сил инерции, но как результат изменения .

Часто аргументы в функциях правой части опускают и записывают её так: . Для ротативных машин, у которых, как было сказано, , уравнение приобретает вид , где , поэтому можно записать .

6.4. Исследование пуска машины при силах – функциях перемещений

Для исследования задаются в форме графиков (рис. 6.6):

– приведённый момент движущих сил в функции угла поворота кривошипа (рис. 6.6, а);

– приведённый момент сил сопротивления в функции угла поворота кривошипа (рис. 6.6, а);

– приведённый момент инерции механизмов машины (рис. 6.6, б);

а также

= 0 – значение угловой скорости ведущего звена в начальном положении.

Д ля исследования используется уравнение динамики в интегральной форме в виде

.

Так как правая часть уравнения является избыточной работой, то для краткости записи уравнение можно представить в форме . Решим данное уравнение относительно : . Обратим внимание на то, что угловая скорость здесь получается как функция от . Это связано с тем, что все составляющие расчётной формулы также зависят от .

Как правило, функции приведенных моментов сил выражаются сложными зависимостями от , а чаще эти зависимости вообще не могут быть найдены в аналитической форме, а только в форме таблиц ряда экспериментальных значений. Поэтому расчёты приходится вести в дискретной форме, введя ранжированную переменную : , где , причём, количество расчётных точек можно выбрать любым, но с таким расчётом, чтобы оно заведомо охватывало весь период пуска машины.

Изобразим графики моментов сил в положительной области системы координат (рис. 6.6, а), перенеся условно график в эту область для удобства дальнейших действий.

Согласно приведённой выше формуле, для расчёта угловой скорости необходимо вычислить избыточную работу в каждом положении механизма. Она вычисляется через площадки, ограниченные ординатами соседних значений и кривыми моментов при этих значениях. Это соответствует действию вычисления определённого интеграла, а физически – вычислению избыточной работы, то есть

, ,

где – избыточная работа, выполненная от начального до – 1-го положения, Дж; – добавочная площадка между i – 1-м и i-м положениями. Так как на малом участке кривую можно заменить отрезком прямой, то указанные фигуры можно рассматривать как трапеции. Поэтому формула для расчёта площадей запишется так:

.

Чёрточки сверху над членами данной формулы указывают на то, что эти члены должны подставляться в виде отрезков, взятых с графика (рис. 6.6, а).

Вычисления по этим формулам дают следующие результаты: , так как все площадки в нулевом положении равны нулю. Это соответствует моменту начала движения машины.

Далее получается:

и т. д.

Подставив полученные значения избыточной работы в приведённую выше формулу и взяв в соответствующем положении с графика (рис. 6.6, б) величину , находим значение угловой скорости в данном, i-м положении. Результаты расчётов угловой скорости представим в виде графика (рис. 6.6, в).

На следующем этапе анализа необходимо найти зависимость времени перехода машины из одного положения в соседнее от угла . Для этого воспользуемся следующими обстоятельствами. Угловая скорость является производной угла поворота по времени, т. е. , откуда . Проинтегрируем это выражение в пределах каждого из интервалов . Вычисление интеграла правой части – задача непростая из-за сложности функции в знаменателе. Поэтому целесообразно воспользоваться приближённой методикой, заключающейся в замене бесконечно малого приращения угла конечной величиной . Если поделить её на среднюю угловую скорость на интервале, то получится искомое время, то есть

.

В итоге получается зависимость между временем движения машины от одного положения до другого и углом поворота ведущего звена между этими положениями . Эту зависимость представим в виде графика (рис. 6.6, г).

Для получения закона движения ведущего звена (звена приведения) в форме зависимости (рис. 6.6, д) теперь достаточно из двух последних графиков (рис. 6.6, в и 6.6, г) исключить параметр . При этом время необходимо отложить вдоль оси абсцисс с нарастающим итогом, т. е. каждый последующий интервал отложить (в некотором масштабе) из конца предыдущего по следующей схеме: . Дифференцирование по времени полученной в виде графика функции даст новую функцию – функцию зависимости углового ускорения звена приведения от времени.