Бесконечно большая функция

Расстановка ударений: БЕСКОНЕ`ЧНО БОЛЬША`Я ФУ`НКЦИЯ

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

Напр.,

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) является бесконечно малой.

Определения

Пусть на некотором числовом множестве   задана числовая функция   и число   — предельная точка области определения  . Существуют различные определения для односторонних пределов функции   в точке  , но все они эквивалентны.

[Править]Односторонний предел по Гейне

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .^[1]

[Править]Односторонний предел по Коши

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   изинтервала   справедливо неравенство  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала  справедливо неравенство  .^[1]

[Править]Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть   и  Тогда системы множеств

и

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

Связь предела с односторонними пределами

f(x)  определена на (a,b) за исключением, быть может, точки x0(a,b) .

Теорема. Для того, чтобы существовал предел  , (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.

Доказательство: Следует непосредственно из определения.

Замечание Теорема верна и для A=+ ,-, но формально не верна для A=.

Пример:  f(x)=1/x, x0=0, 

Определение. Функция  , определенная на множестве  называется непрерывной в точке  , если  .

Фу́нкция Дирихле́ — функция  , принимающая значение 0, если аргумент есть рациональное число, и значение 1, если аргумент есть иррациональное число,

Так как функция разрывна в каждой точке (между любыми двумя рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное), то её график нарисовать невозможно, но мысленно можно представить.

Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D(x) нет предела, а значит, она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва — второго рода.

Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.

Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Первый замечательный предел:

Теорема. Если две функции и определены в одном и том же промежутке и обе непрерывны в точке то в той же точке будут непрерывны и функции

(последняя — при условии, что

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

.

Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁),y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то