10.3.2 Коэффициент Фехнера

Коэффициент Фехнера основан на методе параллельных рядов. Суть его в том, что сравниваются знаки отклонений значений признака от их средних арифметических.

1) Находим средние арифметические

2) Рассмотрим совпадение и несовпадение знаков отклонений.

Совпадение знаков (С) означает согласованную вариацию, а несовпадение (Н)- нарушение этой согласованности.

С=21,

Н=4.

Коэффициент Фехнера вычисляется по формуле

.

Принимает значения от –1до +1.

Вычисляем:

.

Связь прямая и заметно согласованная.

Коэффициент Фехнера примитивен, т.к. улавливает только направление связи и не учитывает ее величину.

10.3.3 Коэффициент корреляции рангов

Коэффициент корреляции рангов – это более точный коэффициент определения тесноты связи между количественными признаками. С помощью этого коэффициента можно определить не только силу, но и направление связи:

где d – разность рангов,

n – число единиц совокупности.

Коэффициент принимает значения от –1 до +1.

Знак “ – ” означает, что связь обратная, “ + ” − связь прямая

Ранг – это порядковый номер или место, которое присваивается каждому значению факторного и результативного признака.

Присвоим ранги каждому значению X и Y (см. пример, графы 6 7). Затем вычислим разность рангов (графа 8) и возведем ее в квадрат (графа 9). Теперь вычисляем коэффициент корреляции рангов:

Следовательно, связь между признаками прямая и тесная.

10.3.4 Метод аналитических группировок

Значительно более отчетливо будут проявляться корреляционные зависимости, если мы применим метод группировок и будем сравнивать не индивидуальные данные, а групповые средние.

Группировка производится по факторному признаку, и для каждой группы вычисляется среднее значение результативного признака. Этот способ является единственно возможным, если нужно выявить зависимость на примере сотен и тысяч единиц.

Аналитические группировки позволяют выявить наличие связи и ее направление, а также измерить тесноту связи.

Для этого используются следующие показатели:

1) коэффициент детерминации;

2) эмпирическое корреляционное отношение.

10.4 Метод корреляционно-регрессионного анализа. Корреляционное отношение и коэффициент корреляции

При исследовании корреляционных зависимостей решению подлежит широкий круг вопросов:

1) предварительный анализ свойств моделируемой совокупности;

2) установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

3) измерение степени тесноты связи между признаками;

4) построение регрессионной модели, т.е. нахождение аналитического выражения связи;

5) установление адекватности (соответствия) модели экспериментальным данным.

Для того, чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали хороший результат, необходимо, чтобы выполнялись определенные требования в отношении объекта исследования и признаков-факторов, а именно:

1) Однородность изучаемых единиц при корреляционном анализе.

Например, определение зависимости тех или иных технико-экономических показателей работы предприятия от определенных факторов.

Должны быть отобраны предприятия, выпускающие однотипную продукцию, имеющие одинаковый характер технологического процесса, тип используемого оборудования и т.п. Необходима также и количественная оценка однородности. Это можно сделать с помощью коэффициента вариации:

%, %.

2) Достаточное число наблюдений.

3) Требования в отношении признаков-факторов:

- выбирать наиболее важные из них.

Для этого следует провести качественный и количественный анализ с использованием, например, парного коэффициента корреляции, ранговых коэффициентов и т.п.;

- факторы должны быть независимые друг от друга;

- исключаются факторы, функционально связанные с результативным признаком;

- факторы должны иметь количественное выражение.

Кроме ранее разобранных методов для определения наличия и вида связи, можно использовать графический метод. По данным значениям фактического и результативного признака строят так называемое поле корреляций (это точечный график).

Эмпирическая линия регрессии является ломаной линией, т. к. влияние прочих неучтенных причин в средних значениях результативного признака погашается не полностью. Но по этой линии можно получить приблизительное представление о линии связи.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основную тенденцию развития

Регрессионная модель:

– прямая,

– парабола,

– гипербола.

Для построения регрессионных моделей нам необходимо найти их параметры (а₀,а₁). Так как теоретическая линия регрессии должна быть проведена таким образом, чтобы сумма отклонений эмпирических точек от теоретических была равна нулю, а сумма квадратов этих отклонений должна быть наименьшая, значит, следует воспользоваться методом наименьших квадратов.

По этому методу получаются системы уравнений для отыскания неизвестных параметров. Для уравнения прямой:

Параметр а₁ – коэффициент регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного признака X на единицу.

Геометрически этот параметр оценивает степень наклона линии регрессии по отношению к оси ОХ.

Параметр а₀ экономического смысла не имеет.

Коэффициент регрессии используют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменится величина результативного признака У при изменении признака-фактора Х на 1%: