9.2 Способы отбора
Существуют различные виды (способы) отбора единиц в целях образования выборки.
Выборку можно проводить путем последовательного отбора отдельных единиц (это индивидуальный отбор) или путем отбора групп или серий единиц (это серийный отбор).
Индивидуальный и серийный отбор могут быть организованы в виде собственно-случайной выборки, механического и типического отбора.
Эти виды отбора могут быть организованы в виде повторной и бесповторной выборки.
Бесповторная выборка - это такая выборка, когда отобранная группа единиц после обследования назад не возвращается.
Повторная выборка применяется только тогда, когда бесповторная выборка невозможна.
Введем следующие обозначения.
Для генеральной совокупности:
– генеральная средняя,
р – генеральная доля,
– генеральная дисперсия,
N – число единиц генеральной совокупности.
Для выборочной совокупности:
–
выборочная средняя,
ω – выборочная доля,
–
выборочная дисперсия,
n – число единиц выборочной совокупности.
9.2.1 Собственно случайная выборка
Собственно-случайная выборка – это такая выборка, при которой отбор единиц и групп единиц для обследования производится в случайном порядке. Часто для таких целей применяется жеребьевка. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.
Доля выборки - это отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:
Кв=n/N,
где Кв – доля выборки.
Если объем генеральной совокупности равен 1000 единиц, Кв=0,01, то
единиц.
При собственно-случайной выборке выборочная средняя и выборочная доля могут принимать различные значения в зависимости от исхода выборки.
Но все эти значения будут колебаться около генеральной средней или генеральной доли. Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности определяются средней ошибкой выборки.
В математической статистике доказывается, что значения средней ошибки выборки вычисляются по формуле:
– для
средней,
– для
доли.
Эти формулы справедливы для повторного отбора.
Для бесповторного отбора формулы принимают вид:
– для
средней,
– для
доли.
Средняя ошибка выборки прямо пропорциональна среднему квадратическому отклонению. Поэтому, чем больше колеблемость признака генеральной совокупности, тем больше ошибка (и наоборот). В то же время средняя ошибка обратно пропорциональна корню квадратному из объема выборки. Следовательно, чем больше объем выборки, тем ошибка меньше. Т. к. (1-n/N)<1,то ошибка при бесповторном отборе меньше, чем при повторном.
Если n→N, т.е. чем больше объем выборки, то (1-n/N) →0. Если n намного меньше, чем N, то (1-n/N) →1,тогда при бесповторном отборе мы можем использовать формулы повторного отбора.
Средняя ошибка выборки характеризует меру отклонения выборочной средней или выборочной доли от генеральной средней или генеральной доли. При этом в математической статистике доказывается, что с некоторой вероятностью можно утверждать, что эти отклонения не превысят некоторой величины, которую можно назвать предельной ошибкой выборки.
Вычисляется она по формуле
,
где t – коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка выборки не превысит t-кратную среднюю ошибку.
По теореме Чебышева можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные показатели будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.
Применительно к среднему значению теорема Чебышева выглядит следующим образом:
.
Следовательно,
.
Это неравенство выражает собой пределы, в которых будет заключена генеральная средняя. Рассуждая аналогично, мы получим пределы генеральной доли p:
.
Определение оптимального объема выборки:
1). Необходимая численность выборки при повторном отборе при расчете средней величины количественного признака:
;
для расчета численности выборки при выборочном обследовании доли альтернативного признака применяют формулу
.
2) Для бесповторного отбора:
– для
средней величины количественного
признака,
– для
доли альтернативного признака.