6 Показатели вариации
6.1 Характеристика показателей вариации
Средняя величина - это обобщающая характеристика варьирующего признака. Однако, характеризуя вариационный ряд в целом, средняя не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредняемого признака, т.е. средняя не характеризует колеблемость признака. Однако именно колеблемость признака позволяет нам судить о равномерности того или иного процесса или явления или об однородности изучаемой совокупности.
Пример вычисления средних в двух вариационных рядах с разным распределением частот:
-
1
2
x
f
xf
x
f
xf
2
1
2
2
30
60
3
5
15
3
20
60
4
30
120
4
10
40
5
60
300
5
50
250
6
30
180
6
10
60
7
5
35
7
20
140
8
1
8
8
30
240
ИТОГО:
132
660
170
850
Для 1-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 120 единиц (30+60+30), или 91% (120/132 · 100%) всех единиц совокупности.
Для 2-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 70 (10+10+50), или 42% (70/850 · 100%) всех единиц совокупности.
Вывод: 1-ый ряд является более однородным, чем 2-ой, и средняя характеристика для него более надежна.
Задача статистики заключается в том, чтобы дать числовое выражение колеблемости признака для более глубокого понимания сущности изучаемых явлений. Для этого в статистике рассчитываются следующие показатели вариации:
- размах вариации (R);
-
среднее линейное отклонение (
);
- дисперсия (σ2);
- среднее квадратическое отклонение (σ).
Кроме них используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V).
Размах вариации R вычисляется по формуле
где Xmaх (Хmin) - самое большое (малое) значение, принимаемое единицей совокупности.
Чем больше R, тем менее однородна совокупность по своему составу, по изучаемому признаку и тем менее надежна средняя. Этот показатель является очень приблизительным, т.к. учитывает лишь значения крайних единиц совокупности. Поэтому его применяют редко, лишь в тех случаях, когда особые значения имеют либо наибольшее, либо наименьшее значения варианты.
Стремление составить показатель вариации, который учитывал бы все значения вариант, приводит к среднему линейному отклонению - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от их средней арифметической. Применяется в 2 формах:
- простой:
;
- взвешенной:
Недостатком этого показателя является то, что он не учитывает знаки отклонений.
Чтобы усилить различия в величинах отклонений, эти отклонения возводятся в квадрат, тогда отклонения меньше 1 уменьшаются, а больше 1- увеличиваются, и вводят новый показатель вариации – дисперсия. Это средний квадрат отклонения вариант от их средней арифметической. Используется в 2 формах:
простой:
- взвешенной:
Среднее квадратическое отклонение (σ):
Так же, как и дисперсия, измеряет абсолютный размер колеблемости признака, но измеряется в тех же единицах, что и варианта. Это не позволяет нам сравнивать между собой различные совокупности. Для этого вводится коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Принято считать, что если V>40%, то это свидетельствуют о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. В этом случае среднее значение ненадежно, недостоверно и по нему нельзя судить о всей совокупности.