Алгебра кососимметрических форм
Опр.:
1. Форма
называется кососимметрической, если:
2.
- подпространство кососимметрических
форм размерности
Пример:
Альтернирование форм
Опр.:
- форма размерности
Оператор
называется оператором альтернирования,
если:
Утв.:
Если:
То:
- Операция альтернирования переводит
кососимметрическую форму саму в себя.
Свойства:
1.
2.
Пример:
1.
2. а)
б)
Опр.:
Операция
- внешнее произведение.
Пример:
1.
2.
3.
-
1-форма
Свойства:
1.
2.
3.
4.
Координатная запись кососимметрической формы.
Утв.:
Если:
- кососимметрическая форма
То:
Док-во:
Следствие:
Т.к.
,
то
Замечание
Множество кососимметрических форм
является градуированной алгеброй.
Замечание
1. В силу определения кососимметрической формы, она равна нулю, если в ней есть одинаковые элементы.
2.
Лекция 13
3.2. Дифференциальные формы
Опр.:
1. В области
задана вещественнозначная дифференциальная
-форма
,
если
определена кососимметрическая форма
2. - порядок (степень) дифференциальной формы .
Пример:
1.
Т.о., дифференциал функции в точке – её 1-форма (линейная форма).
-простейшая
дифференциальная форма
2. а)
- непрерывное векторное поле
б)
- силовое поле,
Опр.:
- форма работы.
Координатная запись дифференциальной формы
Утв.:
Если:
- простейшая дифференциальная форма
То:
координатная запись простейшей - формы.
Координатная запись кососимметрической формы.
Утв.:
Если: - кососимметрическая форма,
То:
Координатная запись дифференциальной формы.
Утв.:
Если: -дифференциальная форма
То:
Т.о., произвольная дифференциальная -форма есть линейная комбинация простейших дифференциальных форм.
Пример:
Задача: посчитать значение
на векторах
.
Пример:
- векторное поле.
Строим параллелепипед на этих векторах. Ориентированный объём этого параллелепипеда – определитель из координат этих векторов. Разложив его по 1-й строке, получаем:
где
обозначает отсутствие
.
Форма потока:
-форма
потока.
Если - скорость течения жидкости, протекающей через площадку, натянутую на векторы за единицу времени.
Дифференциал формы.
Опр.:
- пространство
-форм
гладкости
- пространство
-форм
гладкости
.
Опр.:
Внешним дифференциалом называется
линейный оператор
,
если:
1) если
-функция
(
,
функция – это 0-форма), то
-обычный
дифференциал функции.
2)
3)
Координатное представление внешнего дифференциала.
Утв.:
Если:
То:
Т.о. при дифференцировании формы нужно продифференцировать её коэффициенты.
Пример 1:
Пример 2:
Лекция 14
3.3. Дифференциальные операторы векторного анализа. Их связь с дифференциальными формами
Определения 1:
Опр.: градиент
- скалярная функция
Опр.: ротор
Опр.: дивергенция
Опр.:
1.
2.
3.
,
-скалярная функция
Определения 2:
Градиент:
- функция, соответствующая форме
Ротор:
-функция,
соответствующая форме
Дивергенция:
- функция, соответствующая форме
Утв: Определения 1 и определения 2 эквивалентны.
Док-во:
Лекция 15