22. Применение метода скользящего среднего в краткосрочном прогнозировании. Простое скользящее среднее и экспоненциальное сглаживание.

Сглаживание методом скользящей средней можно применять не только для устранения случайных отклонений (шума) из экспериментальных значений исходного ряда и выявления основной тенденции развития, но и для краткосрочного прогнозирования. Особенностью данного применения является то, что результат усреднения относят не к середине интервала сглаживания, а к последнему периоду времени, включённому в интервал сглаживания. При прогнозировании с помощью метода простого скользящего среднего (МСС) предполагают, что временной ряд является устойчивым в том смысле, что его члены есть реализация следующего случайного процесса:

, 7.1

Где b –неизвестный параметр, который оценивается на основе имеющейся информации. Предполагается, что случайная ошибка имеет нулевое мат. Ожидание и постоянную дисперсию. Кроме того, предполагается отсутствие корреляции между данными для различных периодов времени. При использовании (МСС) предполагают, что последние k наблюдений являются равнозначно важными для оценки параметра b. Оценка среднего значения наблюдаемой величины выполняется по k наблюдениям:

7.2

Прогноз по МСС вычисляется следующим образом:

7.3

Здесь - период упреждения;

Чёткого правила выбора числа наблюдений k (базы МСС) для оценки наблюдаемой величины y не существует. На практике обычно Чем больше число результатов наблюдений, на основании которых вычисляется скользящее среднее, тем точнее прогноз учитывает основную тенденцию, а чем меньше, тем выше отклик прогноза на изменения в уровне базовой линии и на шум. Потому выбор k основывается на информации об исследуемом показателе и опыте исследователя.

В методе экспоненциального сглаживания используются все предшествующие уровни ряда, причём вес наблюдения уменьшается по мере удаления от момента времени, для которого определяется сглаженное значение.

Сглаженные значения у (обозначено ) определяют по формуле:

7.4

Где - параметр сглаживания ( отражающий степень доверия более поздним наблюдениям. Величина называется коэффициентом дисконтирования и характеризует обесценивание данных за единицу времени.

Применяя последовательно формулу 7.4, получим:

Начальное значение принимают либо

Прогноз выполняется по формуле 7.3

Таким образом, можно видеть, что в каждом сглаженном значении используются все наблюдения от 1-го до текущего, но входят они не с одинаковыми, а с экспоненциально убывающими весами, т.е. последние наблюдения входят с большими весами, чем первые. При достаточно большой длине ряда веса прошлых наблюдений быстро стремятся к 0. Лишь в коротких рядах с малым n при значении , близком к 0, вес в значении завышен.

При сумма весовых коэффициентов, с которыми в прогноз входят все уровни ряда, стремится к 1. Приняв возраст последнего наблюдения к=0, предшествующего к=1, и т.д., первого к = n-1, получим при средний возраст информации

Формулу 7.4 можно применить к уже сглаженным значениям. В результате получим операторы сглаживания второго, третьего, и т.д. порядка:

…

Применяя несколько раз оператор сглаживания и подбирая константу сглаживания, можно практически полностью исключить случайную составляющую во временном ряду. В результате останется только преобразованная детерминированная составляющая.

В моделях экспоненциального сглаживания, рассмотренных ниже, сглаженные значения используются для получения аналитической модели детерминированной составляющей и для прогноза на её основе.