11.Свойства мнк-оценок параметров модели. Условия Гаусса-Маркова.

11. Если нормальная СЛАУ хорошо обусловлена, можно получить устойчивые к вычислительным погрешностям оценки параметров модели. При этом оценки являются случайными величинами, так как все элементы нормальной СЛАУ в данном случае являются случайными величинами. В связи с этим встает вопрос о свойствах оценок, полученных МНК, в смысле, указанном в предыдущем пункте.

Можно показать [18], что МНК позволяет получить асимптотически не­смещенные эффективные оценки параметров модели временного ряда, если выполняются следующие предположения:

-Математическое ожидание значений ошибки модели для всех моментов времени равно нулю.

-Значение дисперсии ошибки для всех моментов времени постоянно. Вы­полнимость данного предположения называется гомоскедастичность, невыполнимость (непостоянство дисперсии) - гетероскедастичность.

-Отсутствует автокорреляция необъясненных остатков.

-Отсутствует корреляция между необъясненными остатками и исходным временным рядом.

-Нормальная СЛАУ хорошо обусловлена.

Оценки параметров модели для конечных временных рядов могут не удов­летворять перечисленным свойствам, то есть быть несостоятельными.

Необъясненные остатки, удовлетворяющие первым четырем из перечис­ленных предположениям, называют "белым шумом", а сами эти условия "стан­дартными" или условиями Гаусса-Маркова.

1.Условие равенства нулю математического ожидания остатков. Если уравнение модели включает постоянный член, то это условие выпол­няется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции, которую не описывают функции и факторные пе­ременные, включенные в набор базисных функций.

2.Условие постоянства дисперсии случайной компоненты (гомо­скедастичность).

Хотя гетероскедастичность больше присуща перекрестным данным (например, зависимость потребления от дохода у разных домохозяйств), но во временных рядах, имеющих выраженную тенденцию к росту или снижению показателя, она тоже встречается. В условиях непостоянства дисперсии следует применять другие методы оценки коэффициентов (рассмотрено ниже).

3.Условие отсутствия автокорреляции. Значения случайной компо­ненты должны быть абсолютно случайными, т.е. независимыми друг от друга. Если это условие нарушается, то уравнение регрессии будет неэффектив­ным.

4.Условие независимости случайной компоненты от объясняю­щих переменных. Это означает, что ковариация (корреляция) между остаточ­ной компонентой и уровнями ряда, вычисленными по уравнению регрессии, рана, нулю.

5. .Наряду с условиями Гаусса-Маркова, обычно также предполагается нормальность распределения случайной компоненты временного ряда. В сущности, теорема ут­верждает, что если случайная величина является общим результатам взаимо­действия большого числа других СВ, ни одна из которых не является домини­рующей, то она будет иметь приблизительно нормальное распределение, даже если отдельные составляющие не имеют нормального распределения.

Если не выполняется хотя бы одно из названных условий, модель призна­ется неадекватной; при выполнении всех свойств - модель адекватна.

Следует иметь в виду, что априорно проверить выполнение условий Гаус­са-Маркова, как правило, невозможно. Проверку выполняют, получив остаточ­ную компоненту временного ряда, то есть фактическую ошибку модели. Про­верка осуществляется с использованием ряда специальных статистических кри­териев. Совпадение свойств необъясненных остатков с перечисленными выше свойствами белого шума обеспечивает хорошие прогнозные свойства модели.

12.Оценка адекватности трендовых моделей. Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнози­рования экономического явления может быть решен только после установ­ления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объек­ту быть не может, адекватность - в какой-то мере условное понятие. При моде­лировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель у, временного ряда у, считается адекватной, если правильно отражает основную тенденцию временного ряда. Первым условием адекватности можно считать поведение модели на периоде упреждения: подъ­ем, или снижение, или выход на постоянный уровень; вторым - сохранение в будущем тех характеристик прироста, которые положены в основу применения выбранной кривой роста (см. п. 4.1.3); следующий этап - проверка выполнения условий Гаусса-Маркова для остаточной компоненты.

Качество модели в значительной степени зависит от того, насколько "удачны" оценки коэффициентов модели у. Они играют, пожалуй, основную роль при обосновании ее "качества", поскольку на основе их значений опреде­ляются важнейшие характеристики модели и ее прогнозные свойства. Свойства коэффициентов регрессии существенно зависят от свойств случайной компо­ненты. Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на МНК, давал наи­лучшие результаты, случайная компонента должна удовлетворять условиям Га­усса-Маркова (см. п. 3.5-3.6), т.е. обладать свойствами белого шума. Если эти условия не выполняются, надо попытаться исправить ситуацию. Если сделать это не удается, то исследователь должен оценить серьезность влияния указан­ной проблемы на результаты прогнозирования.

Отметим, что неадекватная модель не может быть использована для долго­срочного прогнозирования.

Для исследования отклонений от тренда мы располагаем набором значе­ний (t=1,2,….,n).