16) Производная сложной функции. Примеры. Производная обратной функции. Вывод производной для арксин, арктг.

Производные обратных тригонометрических функций.

 

y=arcsinx.

Применим теорему о нахождении производной обратной функции:

x=siny,

y/(x)=1x/(y)=1cosy=1√1−sin2y=1√1−[sinarcsinx]2=1√1−x2. 

 

y=arccosx,

x=cosy,

y/(x)=1x/(y)=1−siny=−1√1−cos2y=−1√1−[cos(arccosx)]2=−1√1−x2. 

 

y=arctgx,

x=tgy,

y/(x)=1x/(y)=cos2y=cos2ycos2y+sin2y=11+tg2y=11+[tg(arctgx)]2=11+x2.

 

y=arcctgx,

x=ctgy,

y/(x)=1x/(y)=−sin2y=−sin2ysin2y+cos2y=−11+ctg2y=−11+[ctg(arcctgx)]2=−11+x2.

17) Дифференцирование функций, заданных неявно и в параметрической форме.

Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

1. F(x₀,y₀) = 0 ;

2. частные производные F'_x и F'_y непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) ;

3. F'_y(x₀,y₀) ≠ 0 .

Тогда

1. уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x₀ единственную непрерывную функцию y(x) , удовлетворяющую условию y(x₀) = y₀ .

2. функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x₀ .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x₀, y₀) следует из теоремы существования, так как:

• условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;

• из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x₀,y₀) , а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x₀) = y₀ и непрерывной в окрестности точки x₀ .

Производная функции, заданной неявно

Функция y(x) в окрестности точки x₀ обращает уравнение F(x,y) = 0 в тождество, т.е.

F(x,y(x)) ≡ 0.

Дифференцируя это тождество, получaeм dF(x, y(x)) ≡ 0, а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

F'x · dx + F'y · dy(x) ≡ 0.

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно:

dy(x) = −    F'x F'y  · dx,

Производная функции, заданной неявно:

dy dx    = −    F'x F'y  .

Производная первого порядка функции, заданной параметрически

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями (1), причем функции (t) и ψ(t) дифференцируемы в некоторой точке t₀  (α, β), и  '(t₀) ≠ 0.

Тогда функция y = f(x) дифференцируема в точке x₀ = (t₀), причем

 

f '(x0) =   ψ'(t) '(t)      t = t0

(2)

 

Доказательство.

В условиях теоремы функция (t) имеет дифференцируемую обратную функцию t(x) =  ^{− 1} (x), производная которой в точке x₀ = (t₀) определяется формулой

 

t '(x) =   1  '(t(x))    .

 

Дифференцируя f(x) = ψ(t(x)) в точке x₀ = (t₀) как сложную функцию x, при t = t₀ получаем

 

f'(x0) = ψ'(t) · t'(x) =   ψ '(t)  '(t)      t = t0  . 18) Логарифмическая производная