mat_analiz_tipovik

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ)

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

2

-

1.

ÂÌ

Определение предела последовательности. Подпоследова-

тельность, частичный предел.

МИРЭА

2.

Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема о пределе промежуточной последовательности.

3.

Определение предела функции. Теорема о пределе промежу-

точной функции. Первый замечательный предел.

4.

Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно ма-

лых и бесконечно больших функций.

5.

Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограни-

ченной функций.

6.

Второй замечательный предел. Раскрытие неопределен-

ностейКафедраМГТУ00, 0, 1∞.

∞

4

10.

Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций,

непрерывных на отрезке.

11.

Точки разрыва и их классификация.

12.

Производная, ее геометрический и механический смысл.

13.

Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

14.

Арифметические действия с производными.

2

15.

Таблица производных.

-

16.

Производные сложной и обратной функций.

ÂÌ

17.

МИРЭА

Дифференциал, его связь с производной, геометрический

смысл, инвариантность.

18.

Теорема Ролля, ее геометрический смысл.

Кафедра

19.

Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.

20.

Правило Лопиталя.

21.

Многочлен Тейлора, формула Тейлора.

22.

Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и

Лагранжа.

ÌÃÒÓ

23.

Локальный экстремум функции одного переменного. Необхо-

димое и достаточное условия экстремума.

24.

Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.

25.

Асимптоты графика функции. Существование наклонной

асимптоты.

26.

Частные производные функции нескольких переменных. Тео-

рема о равенстве смешанных производных.

27.

Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Дифференциал.

Контрольная работа •1

Òåìà.

“.

”КафедраПредел функции. НепрерывностьМИРЭАи точки разрыва

Öåëü. Проверить усвоение основных приемов вычисления пре-

ÌÃÒÓ

тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.

2

Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает на во-

просы. Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена

(зачета).

ÂÌ

По итогам обучения проводится

экзамен (зачет)-.

Примерный вариант экзаменационного билета

1.

Определение предела функции. Основные теоремы о преде-

лах (арифметические операции).

Кафедра

2.

Вычислить предел:

√

4x2 + 16x + 9

5 + x x−4

à) lim

lim

(3 + x)

x→∞ (x + 5)2 − x2

á) x→∞

3.

Вычислить производную:

МИРЭА

ÌÃÒÓ

à) y = √1 + tg 5x

á) y =

x arcsin 2x

ln x

4.

Написать уравнение касательной к кривой

x = t cos t

π

{ y = t sin t

в точке t =

4

5.

Вычислить lim

cos

2 · ex−1

x→1 e

sin(1

x)

− 1)

( −

6.

Провести исследование и построить график функции:

y = (2x + 3)e−2(x+1)

помощью определения предела последователь-

ЗадачаКафедраМГТУ1 . Ñ

un ïðè n → ∞

ности показать, что данная последовательность

имеет своим пределом число A. Найти целое значение N , íà÷è-

ная с которого |un − A| < ε.

•

un

A

ε

•

un

A

ε

1

7n − 1

7

10−2

2

4n2 + 1

4

10−2

n + 1

3n2 + 2

3

3

9 − n3

1

10 2

4

1

n

0

10 3

1 + 2n3

−

2

(−

2)

−

−

5

1 +

(−1)n

1

10−2

6

4n − 3

2

10−3

2n + 1

2n + 1

7

1 − 2n2

−

1

10−2

8

2n + (−1)n

2

10−2

2 + 4n2

2

n

9

5n

5

10−2

10

1

0

1

−n + 1

ln(n + 1)

3

−

11

n + 1

1

10−2

12

2n + 1

2

210−2

1

−

2n

−2

3n

−

5

-3

13

1 − 2n2

2

10−2

14

3n2

3

10−2

n2 + 3

2 − n2

−

−

15

n

1

10−2

16

2n

0

10−1

−

Кафедра

2

3n − 1

3

1 +ÂÌn

17

3n3

3

10−2

18

4 + 2n

2

10−2

n3 − 2

1 − 3n

−3

19

5n + 15

5 10−2 20

3 − n2

−

1

10−2

6 + n

1 + 2n2

2

МИРЭА

21

7 − n

1

10−2

22

3n2

+ 4

3 10−2

n + 3

−

2 − n2

−

5 + 4n3

1

n

23

−

−2 10−2 24

(

)

0

10−3

3 + 2n3

3

25

3

(−1)n

3

10−2 26

9n + 7

9

10−2

− n + 5

2n

3

2

27

2 + n2

1

10−2

28

−5n + (−1)n

−

5

10−2

4 + 2n2

2

2

2n + 3

2

1

2

n

29

ÌÃÒÓ0 4 30

(−

)

0

10−3

ln(3n + 4)

7

9

Задача 2. Вычислить пределы последовательностей.

1

3n2 − 7n + 1

2 − 5n − 6n2

2

(2 − n)2 − (1 + n)2

(3 + n)2 − (4 − n)2

3

3

−

5

n + 2

2n + 1

4

2n2 + 5

−

n2

+ 4

2

4n + 1

2n + 3

3n

+ 1

МИРЭА

√

n2 + 1

+ n

2

-

5

( √3

27n6 + 1

)

6

10n3 − √

n3 + 2

√

4n6

+ 3 − n

ÂÌ

Кафедра·

(

)

n +

7

√3 n2 sin

n2

1

3n cos(n!)

8

√3

n4 + 5n − 9

9

3n + 1000

10

(−2)n + 3n

(−2)n+1 + 3n+1

11

4n + 2 · 5n+1

3n + 3 5n−1 + sin n

5 + n

n−4

12

(

)

3 + n

ÌÃÒÓ

13

(3 − n)

1

n

2n−1

−

(

2 + 1

)

n

14

n

n2

√

− n

15

n2 + n

√

− √

16

n2 − 2n − 1

n2 − 7n + 3

√

√

2

17

3 (1 + n)2 − 3 (n − 1)2

√3

3

2

− n

18

n −

4n

-

√

√

19

n3=2( n3 + 1 −

n3 − 2)

23

(n + 3)! + 4 · n!

МИРЭА

20

Кафедра

(2n + 4) ((n + 2)! + 7ÂÌ· n!)

21

((2n + 1)! + (2n + 2)!) (7n + 5)

(2n + 3)!

22

(3n − 1)! + (3n + 1)!

(3n)! · (n − 1)

ÌÃÒÓ√3 √9 √

√

1 + 2 + 3 + . . . + n

n − n2 + 3

24

2 + 4 + 6 + . . . + 2n

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)

25

1 +

1

+

1

+ . . . +

1

4

n

2

2

1

1

1

n 1

26

−

+

− . . . + (−1)

5

25

125

5n

27

3n

27

2 ·

2 ·

2 · . . . ·

2