Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

Доказательство

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {a_n} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {b_n}, поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров n выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого   для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство

b_n − a_n < ε

Взяв в этом неравенстве  , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.

Несчетность R

Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала  .^[18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

Здесь a_ij — j-я цифра i-ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

Пусть каждая цифра d_i этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

• 

• 

• 

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, x интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел x_j, выписанных выше, ведь иначе j-я цифра числа x совпала бы с j-ой цифрой числа x_j. Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.^[18]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным

Теорема Б-В

Пусть предложена последовательность точек пространства  :

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

где C > 0 — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

которая сходится к некоторой точке пространства  .(из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.)

Доказательство

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюсяподпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим [a₀,b₀].

Разделим отрезок [a₀,b₀] пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₁,b₁].

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком [a₁,b₁]: разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₂,b₂].

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности {x_k}.

Длины отрезков стремятся к нулю:

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам:

По построению на каждом отрезке [a_m,b_m] лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность   сходится к точке ξ. Это следует из того, что расстояние от   до ξ не превосходит длины содержащего их отрезка [a_m,b_m], откуда

(определение точной верхней грани). Число S называется точной верхней гранью множества X (S = sup X), если выполняются следующие свойства:

1. x S  x  X ;

2. >0  x_>S-.

Аналогично определяется и точная нижняя грань, которая обозначается inf X (инфимум)

(определение точной нижней грани). Число I называется точной нижней гранью множества X (I = inf X), если выполняются следующие свойства:

1. x I  x  X ;

2. >0  x_<I+.

Фундаментальные последовательности

Последовательность

x_n называется фундаментальной или последовательностью Коши, если  > 0 N:  n>N,  m>N, |x_n-x_m|<  Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

(последовательность Коши). Последователь ность

x_n называется фундаментальной или последовательностью Коши, если  > 0 N:  n>N,  p-натурального, |x_n+p-x_n| < 

(Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)ⁿ не имеет предела . Очевидно, что |x_n-x_n+1| = 2, поэтому если выбрать = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

>0,  n>N,  m>N, |x_n-x_m|.