Определение передаточных функций систем управления в общем виде
Из
цепи звеньев любой сложности, показанной
на рис. 1.7 одним прямоугольником с
передаточной функцией
,
получается замкнутая система при помощи
единичной отрицательной обратной связи.
Эту отрицательную обратную связь
называют главной, в отличие от местных
обратных связей. Пусть имеются внешние
воздействия: g(t)
– задающее и f(t)
– возмущающее.
Рис. 1.7
На
выходе схемы имеем
,
но
,
тогда
.
Основные соотношения в изображениях по Лапласу будут иметь вид:
;
(1.1)
.
(1.2)
При расчетах автоматических систем применяются три основных вида передаточных функций замкнутой системы.
Главная передаточная замкнутой системы
.
Из
формул (1.1) и (1.2) при
имеем:
,
откуда
.
2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки
По формуле (1.1) получаем
отсюда
,
т. к.
.
3.
Передаточная функция по возмущающему
воздействию
.
Из
формул (1.1) и (1.2) при
имеем
.
В общем случае передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
,
где
− общий коэффициент усиления разомкнутой
системы;
и
− операторные многочлены с единичными
коэффициентами при младших членах.
Если
известны передаточные функции
и
,
то легко получить из них дифференциальное
уравнение.
Для замкнутой системы имеем
,
откуда
.
Переходя
от изображений к оригиналам, получим
дифференциальное уравнение замкнутой
системы для регулируемой величины
в виде
,
где
− оператор дифференцирования.
Пример
Записать дифференциальное уравнение, если передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
.
Запишем уравнение в операторной форме
Переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальное уравнение в виде:
.
(Практически
в уравнении в операторной форме необходимо
заменить
на
).
Для
получения характеристического уравнения
замкнутой системы нужно приравнять
нулю знаменатели передаточных функций
.
Типовые звенья систем управления
При всем многообразии технических средств автоматики подавляющее большинство звеньев, составляющих структурные схемы систем автоматического управления, может быть сведено к нескольким, так называемым, звеньям направленного действия.
Передаточные функции наиболее часто встречающихся из них приводятся ниже.
1. Безынерционное звено (усилительное):
.
2. Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка):
,
где − коэффициент усиления;
− постоянная
времени звена.
3. Колебательное звено:
,
где − коэффициент усиления;
− постоянная времени звена;
− коэффициент,
характеризующий затухание.
К
указанному виду легко приводится любая
передаточная функция, у которой числитель
есть постоянное число, а знаменатель –
квадратный трехчлен (относительно
)
с положительными коэффициентами.
Действительно, пусть передаточная
функция некоторого звена имеет вид:
.
Поделив
числитель и знаменатель на
и приравняв выражения
,
получим, из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях , систему уравнений:
решив
которую, будем иметь
.
При
квадратное уравнение
будет иметь два отрицательных вещественных корня, а колебательное звено может быть заменено двумя последовательно включенными апериодическими звеньями.
4. Интегрирующее звено:
.
5. Дифференцирующее звено.
Для идеального дифференцирующего звена:
;
для реального дифференцирующего звена:
,
где
и
− постоянные времени звена.
6. Инерционное интегрирующее звено:
.
Данное
звено можно заменить двумя последовательно
соединенными типовыми звеньями с
передаточными функциями
и
.
Таким образом, сложные выражения для передаточных функций часто можно заменить комбинациями передаточных функций типовых звеньев.