Вопрос 29. Классическое определение вероятности

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Вопрос 30.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Размещения - размещениями из n различных элементов по k элементов (0£ k £ n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов. Вычисляются по формулам:

Размещения без повторений:

Размещения с повторениями:

Сочетания - сочетаниями из n элементов по k элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества. Вычисляются по формулам:

Сочетания с повторениями:

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Вопрос 31.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие называется случайным ,если оно может произойти в результате испытания.

Событие называется достоверным ,если оно обязательно происходит в результате данного испытания.

Событие называется невозможным ,если оно никогда не происходит в результате данного испытания

Противоположным Ā называется событие которое происходит тогда, когда не происходит событие А.

Вопрос 32.

Пространство элементарных событий — множество Ω всех различных исходов случайного эксперимента.

Несовместные события. События A₁и А₂ называются несовместными, если в результате испытания они не могут появиться вместе.

События называются независимыми, если исход одного из них не влияет на исход другого, т.е. Р(А/В) = Р(А)

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство Р_А (В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Решение: Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Совместные события. События А₁ и А₂ называются совместными, если в результате испытания они могут появиться вместе.

Полной группой событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

Вопрос 33.

Суммой А+В называется событие, которое происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Сумме А+В соответствует объединение подмножеств А и В(рис1)

Произведением АВ называется событие которое происходит тогда, когда происходит одновременно событие А и В. Произведению АВ соответствует пересечение подмножеств А и В(рис2)