Вопрос 26.

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

 

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

 

           При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.

Вопрос 27.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} представляет

собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {x_n} и {y_n}

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Теорема 6 О сходимости подпоследовательности

Теорема 7 Об арифметических действиях над сходящимися последовательностями

Теорема 8 Критерий Коши сходимости последовательности

Для того чтобы последовательность {x_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε >0 ∃номер n₀ такой, что ∀n > n₀ и любого p∈N выполнялось неравенство |x_n+p - x_n| <ε

Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой

Вопрос 28.

Первый замечательный предел: Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел.

Примеры: , , ,

Второй замечательный предел: В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так: