4.7 Погрешность интерполяционной формулы Ньютона

, заменяя в вычисленияx значение функции значением интерполяционного многочлена мы допускаем погрешность.

Обозначим

- остаточный член формулы Ньютона, он и дает погрешность метода.

В силу единственности интерполяционного многочлена и для многочлена справедливо будет

, где

Если узлы равноотстоящие, то введя замену , погрешность выражается формулой

Если будет известно, что , то получим оценку погрешности.

(14)

Можно принять

на

Если аналитическое выражение функции заданной таблицей, неизвестно, то используют формулу практической оценки погрешности.

(15)

Так как при малых h и в силу непрерывности производных

4.8 Частные случаи интерполирования

1) линейное интерполирование

Имеем 2 узла интерполирования . n=1 – степень интерполяционного многочлена.

Из формулы (12) при n=1 получим , а

приближенное равенство (13) примет вид

(16)

Формула (16) и есть формула линейного интерполирования.

Геометрический смысл линейного интерполирования:

y M₁

M₀

0 x₀ x₁ x

дается 2 узла .

При линейном интерполировании дуга кривой заменяется отрезком прямой

2) квадратичное интерполирование. Имеем 3 узла интерполирования , равноотстоящие, n=2 – степень интерполяционного многочлена, тогда из (12) при n=2 получим

А интерполяционная формула примет вид

(17)

Формула (17) и есть формула квадратичного интерполирования.

Геометрический смысл: при квадратичном интерполировании дуга кривой заменяется дугой параболы, проходящей через точки

3) допуск линейного интерполирования

Определение: говорят, что таблица допускает интерполирование n-го порядка, если погрешность метода при использовании интерполяционного многочлена n-го порядка не превосходит точности табличных значений функции, то есть , где - точность значений функции.

Итак, пусть задана таблица, в которой все значения функции записаны с точностью

Воспользуемся формулой практической оценки погрешности (15) при n=1, будем иметь

Рассмотрим функцию

Исследуя ее на экстремум на , получим , тогда

Очевидно, что если вторые табличные разности не превосходят 4х единиц младшего разряда табличных значений функции, то есть , то получим

Значение функции вычислимое с помощью линейного интерполирования имеет ту же точность, что и табличные значения функции, а это значит, что таблица допускает линейное интерполирование.

Отсюда критерий: таблица или ее часть допускает линейное интерполирование, если модули вторых табличных разностей не превосходят 4х единиц младшего разряда табличных значений функций.

4) критерий допуска квадратичного интегрирования.

Пусть - точность табличных значений функции

При n=2 из (15) получим

Рассмотрим функцию , исследуя ее на экстремум на отрезке и

Тогда условие допустимости запишется

Если то значение функции, вычисленное с помощью формулы квадратичного интерполирования будет иметь ту же точность, что и значения функции в таблице, а это значит, что таблица допускает квадратичное интерполирование. Отсюда критерий: таблица или ее часть допускает квадратичное интегрирование, если модуль третьих табличных разностей не превосходит семи единиц младшего разряда значений функции