8.Стандартное нормальное распределение
Для непрерывных случ.величин описывается законом Гаусса. Распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:
где μ —математическое ожидание
σ² — дисперсия.
σ – среднее квадратич. отклонение этой величины
График симметричен относительно вертик.прямой Хmax = μ.
Стандартный интервал а</=х</=b
Вероятность попадания в него случайной величины
b
Р(а</=х</=b)=
а
р
(плотность) (Х) dx
Доверительная вероятность α – некоторая заданная вероятность, с которой случ.величина попадает в определённый интервал.
Такой интервал – доверительный
Стандартные интервалы
(вместо < должно быть </=)
М- σ <х< М+ σ (α = 68%)
М- 2σ <х< М+ 2σ (α = 95%)
М- 3σ <х< М+ 3σ (α = 99,7%)
Статистика 9. Понятие генеральной совокупности и выборки. Объём выборки, репрезентативность. Статистическое распределение (вариационный ряд). Примеры. Характеристики выборки
Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью.
Пример. Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.
Число наблюдений, образующих выборку, называется объемом выборки.
Репрезентативности выборки - полнота и адекватность свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и несплошного наблюдения . Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности, а несплошное (выборочное) наблюдение — только его части.
Выборка образует вариационный ряд, если выборочные значения случайной величины упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами.
Характеристики выборки:
Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.
Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.
10. Оценка параметров генеральной совокупности по характеристикам её выборки (точечная и интервальная). (Параметры генеральной совокупности и характеристики выборки. Формулы, пояснения).
1Точечная и интервальная оценка параметра генеральной совокупности.
Предположим, что по выборке нужно найти не интервал, в котором находится параметр, а одно число которое ближе всего к параметру. Под оценкой понимается любое число, рассчитанное по выборке и характеризующее параметр.
Свойства точечной оценки:
Несмещенность – среднее выборочного распределения оценки равно величине параметра.
Состоятельность – при увеличении объема выборки оценка приближается к значения измеряемого параметра.
Эффективность – чем ниже дисперсия, т.е. чем меньше отличаются оценки, полученные в разных выборках, тем выше эффективность.
Интервальная оценка
Интервальная оценка включает в себя два компонента:
Интервал в котором ожидается обнаружить оцениваемый параметр генеральной совокупности;
Вероятность обнаружения параметра в данном интервале.
2Основными параметрами генеральной совокупности являются математическое ожидание и дисперсия входящих в нее величин.
.Генеральная средняя.
Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х.
Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения признака различны, то
Если значения признака имеют частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то
.Выборочная средняя.
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.
Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки различны, то
если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то
Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.
. Генеральная дисперсия.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.
Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .
Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то
Если же значения признака имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:
.Выборочная дисперсия.
Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если все значения признака выборки различны, то
если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то
Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклоненим называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
Вычисление дисперсии- выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:
Замечание: если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за xi принимают середины частичных интервалов.
Статистика.