8. Законы движения носителей в полупроводниках.

В общем случае движение носителей в полупроводниках обусловлено двумя процессами: диффузией под действием градиента концентраций и дрейфом под действием градиента потенциала в электрическом поле. Поскольку в полупроводниках мы имеет дело с двумя типами носителей – дырками и электронами, полный ток состоит из четырех составляющих:

, (1.55)

где индексы "др" и "диф" относятся соответственно к дрейфовым и диффузионным составляющим тока.

При анализе удобнее пользоваться не токами, а плотностями токов , что и сделано в формуле (1.55).

Плотности дрейфовых составляющих тока пропорциональны градиенту электрического потенциала , т.е. напряженности электрического поля . В одномерном случае, когда движение носителей происходит только вдоль оси , имеем:

; (1.56а)

. (1.56б)

Для диффузионных составляющих нужно вместо градиента электрического поля потенциала использовать градиенты химического потенциала соответствующих носителей. Химические потенциалы – это вторые слагаемые в правых частях формул ( и ).

Продифференцируем эти слагаемые по и подставим результаты вместо величины в выражения (1.56). Тогда диффузионные составляющие токов запишутся следующим образом:

; (1.57а)

. (1.57б)

Константы и , которые вошли в выражения (1.57) называются коэффициентами диффузии электронов и дырок. Эти величины играют при диффузии ту же роль, что и подвижности при дрейфовом механизме движения. Связь между коэффициентами диффузии и подвижностями выражается формулой Эйнштейна:

. (1.58)

Сравнивая выражения (1.56) и (1.57), можно заметить, что дрейфовые составляющие токов пропорциональны концентрации носителей, тогда как диффузионные не зависят от концентраций, а определяются только градиентами концентраций.

Выражения (1.56) и (1.57) говорят о том, что для оценки полного тока (1.55) необходимо знать концентрации носителей и напряженность поля.

В общем случае концентрации и зависят от двух переменных: координаты и времени . Поэтому для определения токов нужно предварительно найти функции и . Эти функции являются решениями так называемых уравнений непрерывности потоков, которым в любой момент времени подчиняется движение носителей.

Для дырок и электронов уравнения непрерывности записываются в следующем виде:

; (1.59а)

, (1.59б)

где и – избыточные концентрации; и – скорости генерации под действием внешних факторов, например света.

Слагаемые в правых частях (1.59) соответствуют возможным причинам изменения концентрации носителей во времени. В частности, последние слагаемые можно рассматривать как скорости накопления или рассасывания носителей, обусловленные неравенством потоков, втекающих и вытекающих из некоторого элементарного объема.

Такое неравенство потоков характеризуется дивергенцией вектора плотности потока. В нашем случае плотность потока есть . Дивергенция этого вектора в одномерном случае равна

.

Подставляя сюда соотношения (1.56) и (1.57), получаем:

;

.

С учетом этих выражений, а также при отсутствии внешних факторов ( , ) уравнения непрерывности (1.59) принимают следующую форму:

; (1.60а)

. (1.60б)

Если поле отсутствует или его ролью заведомо можно пренебречь ( ), то выражения (1.60) упрощаются и носят название уравнений диффузии:

; (1.61а)

. (1.61б)

Они широко используются при анализе полупроводниковых приборов.

В тех случаях, когда полем пренебречь нельзя, пользуются полными уравнениями (1.60).

Если напряженность E меняется вдоль оси х (т.е. в полупроводнике имеется существенный объемный заряд) приходится дополнительно привлекать уравнение Пуассона, которое в одномерном случае имеет вид:

, (1.62)

где - плотность заряда; - электрическая постоянная; - относительная диэлектрическая проницаемость.