4. Концентрация носителей в собственном и примесном полупроводниках.

Перемножая левые и правые части в формулах (1.12) и учитывая (1.9), нетрудно представить произведение концентраций электронов и дырок следующим образом:

. (1..14)

Как видим, при неизменной температуре произведение концентраций - величина постоянная, т.е. увеличение одной из концентраций сопровождается уменьшением другой.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. Обе они обозначаются n_i и называются собственными концентрациями. Подставляя n=n_i и p=n_i в (1.9) и извлекая квадратный корень, получаем выражение для собственной концентрации:

. (1.15)

Отметим две важные особенности этого выражения. Во-первых, собственная концентрация очень сильно зависит от ширины запрещенной зоны. С уменьшением ширины запрещенной зоны увеличивается собственная концентрация. Например, для кремния =1,1В, собственная концентрация n_i=2*10¹⁰ см^-3, для германия =0,67В, собственная концентрация n_i =2*10¹³ см^-3. Во-вторых, собственная концентрация очень сильно зависит от температуры через величину , стоящую в показателе степени. Легко заметить, что влияние температуры тем сильнее, чем больше ширина запрещенной зоны.

Соотношение (1.14) часто записывают в более компактной форме через собственную концентрацию:

np=n_i² . (1.16)

Это соотношение говорит о том, что увеличение концентрации одного типа носителей сопровождается уменьшением другого типа носителей. Так для электронных полупроводников, у которых n>>n_i, имеем p<<n_i , а для дырочных полупроводников, у которых p>>n_i, имеем n<<n_i.

Используя формулы (1.16), (1.15) и (1.14), и полагая для простоты N_c=N_v, нетрудно выразить концентрации n и p через собственную концентрацию n_i:

; (1.17a)

, (1.17б)

где – потенциал середины запрещенной зоны, который иногда называют электростатическим потенциалом полупроводника.

Используя выражения (1.17а) и (1.17б), легко получить уровень Ферми в двух формах:

; (1.18a)

; (1.18б)

Вторые члены в правых частях (1.18) , характеризующие концентрации носителей, называются химическим потенциалом. Следовательно, уровень Ферми является суммой электрического и химического потенциалов. Отсюда еще одно его название – электрохимический потенциал.

Из выражений (1.18) можно сделать следующие выводы:

1. в собственных полупроводниках, у которых n=p=n_i уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны;

2. в дырочных полупроводниках, у которых p>n_i, уровень Ферми лежит в нижней половине запрещенной зоны и тем ниже, чем больше концентрация носителей;

3. в электронных полупроводниках, у которых n>n_i, уровень Ферми лежит в верхней половине запрещенной зоны и тем выше, чем больше концентрация дырок.

4. С ростом температуры, когда примесный полупроводник постепенно превращается в собственный, уровень Ферми смещается к середине запрещенной зоны.

Одно из фундаментальных положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы разнородной она ни была. Это положение можно записать в виде равносильных выражений:

, (1.19a)

. (1.19б)

Для того чтобы определить уровень Ферми по формулам (1.18), нужно знать концентрации свободных носителей. При оценке величин n и p используют условие нейтральности полупроводника: в однородном полупроводнике не может быть существенных некомпенсированных объемных зарядов ни в равновесном состоянии, ни при наличии тока. Поэтому в общем виде условие нейтральности для единичного объема записывают так:

p + N_д^*- (n + N^*_a) =0. (1.20)

Исходя из условия нейтральности, запишем для электронного полупроводника следующее соотношение:

n = N^*_д +p, (1.21)

где N^*_д - концентрация положительных донорных ионов. Выражая концентрацию дырок через концентрацию электронов (1.16) и решая получившееся квадратное уравнение относительно n, находим концентрацию электронов в следующем виде:

(1.22а)

Аналогичным путем можно найти концентрацию дырок в дырочном полупроводнике:

(1.22б)

Индексы n и p означают принадлежность к полупроводнику с соответствующим типом проводимости.

Как правило, в рабочем температурном диапазоне примесных полупроводников все атомы примеси ионизированы. Тогда концентрации основных носителей запишутся в виде:

n_n = N_д , p_p =N_a . (1.23)

Концентрации неосновных носителей легко определить, воспользовавшись соотношением (1.11):

p_n = n_i² / N_д , n_p =n_i² / N_a (1.24)

Из выражения (1.24) следует, что при низких температурах концентрация неосновных носителей очень мала. Однако с ростом температуры концентрация неосновных носителей возрастает очень резко - пропорционально n_i² , т.е. значительно быстрее, чем даже концентрация собственных носителей. Так, в кремнии рост температуры на 50⁰ С сопровождается увеличением концентрации неосновных носителей примерно в три раза.