4. Анализ перехода в равновесном состоянии.
Высота равновесного потенциального барьера определяется разностью электростатических потенциалов в и слоях (рис. 2.2б):
. (2.1)
Потенциалы
и
легко получить из формул (1.13а) и (1.13б),
подставляя соответственно
и
( индексы
и
обозначают
принадлежность к тому или иному слою,
а индекс 0 - равновесное состояние) Тогда
(2.2)
Если
положить
и
(где
и
– эффективные концентрации примесей),
то
. (2.3)
Очевидно, что при прочих равных условиях равновесная высота потенциального барьера тем выше, чем меньше собственная концентрация (т.е. чем больше ширина запрещенной зоны полупроводника).
Оценим
для кремния при комнатной температуре.
Пусть
,
,
значение
для кремния определим из табл. 1, тогда
.
Используя
соотношение
,
заменим в формуле (2.2) одну из концентраций
основных носителей (
или
)
на концентрацию неосновных носителей
(
или
).
Тогда
(2.4а)
(2.4б)
Величину иногда называют диффузионным потенциалом или контактной разностью потенциалов.
Чтобы рассчитать равновесную ширину перехода, воспользуемся идеализированным распределением зарядов (рис 2.3). При таком распределении зарядов (рис. 2.3а) плотности в каждой из двух частей перехода постоянны (рис.2.3б):
в
левой части (
слое)
;
в
правой части (
слое)
Подставляя
эти значения в уравнение Пуассона (1.58)
и интегрируя его дважды для каждой из
двух частей перехода, получаем линейное
распределение напряженности
и квадратичное распределение электрического
потенциала
(рис. 2.3в, г). Функция
имеет вид:
;
(2.5а)
(2.5б)
Приравнивая значения при (на металлургической границе), получаем соотношение между составляющими ширины перехода в слоях и :
(2.6)
Если
переход несимметричен и
,
то
и, значит,
,
т.е. переход сосредоточен в высокоомном
слое
.
Функция
имеет вид:
;
(2.7а)
;
(2.7б)
где
и
– электростатические потенциалы
соответствующих слоев вне перехода.
Приравнивая
значения
при
и учитывая соотношения
и
,
получаем:
. (2.8а)
Для
несимметричного перехода при
получаем:
. (2.8б)
Полагая
и выражая концентрацию
через удельное сопротивление
,
получаем:
. (2.9)
5. Анализ перехода в неравновесном состоянии.
Если подключить источник ЭДС между и слоями, то равновесие перехода нарушается и в цепи потечет ток. Поскольку удельное сопротивление обедненного слоя намного выше, чем удельные сопротивления нейтральных слоев, то внешнее напряжение практически полностью падает на переходе, а значит, изменение высоты потенциального барьера равно величине приложенной ЭДС.
Когда ЭДС приложена плюсом к слою, высота потенциального барьера уменьшается и становится равной
. (2.10а)
Такое включение перехода называется прямым. При отрицательном потенциале на слое высота потенциального барьера увеличивается:
. (2.10б)
Такое включение называется обратным.
Вместе с высотой потенциального барьера меняются его ширина и граничные концентрации носителей.
Заменяя
на
и,подставляя
значение
из (2.10а) в (2.8б) получаем:
, (2.11)
где
–
равновесная ширина потенциального
барьера.
Как
видим, переход сужается при прямом
напряжении (
)
и расширяется при обратном (
).
Однако в первом случае полученное
выражение является чисто качественным,
так как погрешность, обусловленная
идеализацией перехода (пренебрежением
зарядов подвижных носителей) оказывается
более существенной, чем в равновесном
состоянии. При обратных напряжениях
формула (2.10б) вполне приемлема. Если
модуль обратного напряжения превышает
величину
в 2-3 раза и более, можно пользоваться
упрощенным вариантом формулы:
, (2.12)
Изменение
высоты потенциально барьера сопровождается,
вообще говоря, изменением всех четырех
граничных концентраций. Однако, поскольку
концентрации основных носителей
значительно больше, чем неосновных,
можно считать, что меняются только
последние. Поэтому, заменим в правых
частях формул (2.4) концентрации
на
и
на
,
а в левых частях – величину
на
,
и, считая концентрации основных носителей
и
неизменными, получим связь между
граничными концентрациями неосновных
носителей в равновесном и неравновесном
состояниях перехода:
;
(2.13а)
.
(2.13б)
Учитывая, что в скобках стоят равновесные граничные концентрации, запишем полученные выражения в следующей форме:
; (2.14а)
. (2.14б)
При прямых напряжениях граничные концентрации оказываются больше равновесных. Значит в каждом из слоев появляются избыточные носители, т.е. происходит инжекция.
При обратных напряжениях граничные концентрации уменьшаются по сравнению с равновесными, т.е. имеет место экстракция.
Избыточные концентрации на границах перехода найдем, вычитая из и соответственно и :
; (2.15а)
. (2.15б)
Поделив
(2.15а) на (2.15б), заменив в правой части
концентрации неосновных носителей
концентрациями основных носителей с
помощью соотношения
и считая концентрации основных носителей
равными концентрациям соответствующих
примесей, получим:
. (2.16)
Отсюда следует, что у несимметричных переходов концентрация избыточных носителей в высокоомном слое гораздо больше, чем в низкоомном слое. Можно сказать, что в несимметричных переходах инжекция имеет односторонний характер. Главную роль играют носители, инжектируемые из низкоомного слоя в высокоомный.
Инжектирующий слой (с меньшим удельным сопротивлением) называют эмиттером, а слой с большим удельным сопротивлением, в который инжектируются неосновные для него носители, - базой.
При обратных напряжениях, т.е. в режиме экстракции, граничные концентрации неосновных носителей согласно (2.14) меньше равновесных и могут быть сколь угодно малы. При этом избыточные концентрации согласно (2.15) - отрицательны, по модулю они не превышают равновесных значений npо и pnо.
Исследуем границы применимости соотношений (2.14) и (2.15), которые были получены путем простой замены равновесной величины на неравновесную, а также в предположении неизменных концентраций основных носителей и . Последнее предположение соответствует условию низкого уровня инжекции в базе. Что касается замены на , то в ее основе лежит понятие квазиравновесного состояния перехода при наличии внешнего напряжения.