39. Центральная предельная теорема (цпт) и следствия из нее.
Теорема: (Центральная предельная теорема.) Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, то эта случайная величина Х имеет распределение близкое к нормальному.
Имеется набор случайных величин. Случайные величины слабо друг от друга зависят, у них одни и те же математические ожидания.
эта величина не меняется
. Приведём также два следствия из центральной предельной теоремы, относящиеся к независимым испытаниям. Локальная теорема Муавра - Лапласа утверждает:
Если
вероятность
успеха
в каждом испытании отлична от нуля и
единицы, а число испытаний
достаточно
велико, то для расчёта вероятности
появления
ровно
успехов
в серии из
испытаний
можно пользоваться приближённой формулой
(
),
(4.22)
где
-
функция плотности нормального
распределения (см. табл. П.1).
На
практике, очевидно, вероятность появления
любого конкретного числа успехов близка
к нулю. Это имеет простое объяснение -
ведь всего есть
различных
событий (может наступить
успехов),
и сумма вероятностей этих
событий
должна быть равна единице. Поэтому важно
уметь вычислять вероятности
того,
что число успехов в серии из
испытаний
будет заключено между числами
и
.
Для этого используется интегральная
теорема Муавра - Лапласа:
Если
вероятность
успеха
в каждом испытании отлична от нуля и
единицы, а число испытаний
достаточно
велико, то для расчёта вероятности
того,
что число успехов в серии из
испытаний
будет заключено в промежутке
,
можно пользоваться приближённой формулой
(
),
(4.23)