8.Вычисление неупорядоченных выборок с повторениями. Привести пример

Сочетания .Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов). Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если можно брать по два одинаковые буквы.

Решение. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР. По формуле получаем: наборов.

9. Геометрическая вероятность. Привести примеры. Геометрические вероятности.

Чтобы избежать недостатка классического определения вероятностей, состоящего в том, что оно неприменимо при испытаниях с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в заданную область, на заданный отрезок.

Пусть отрезок l является частью отрезка L . На отрезок L наугад ставят точку. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна его длине и не зависит от расположения отрезка на большом отрезке L.

длина l

Вероятность попадания точки на отрезок l P = ------------- .

Длина L

Аналогично вводится геометрическая вероятность для плоских фигур. Пусть фигура g является частью фигуры G. Тогда

площадь g

вероятность попадания точки в область фигуры g P = ------------------

площадь G

Пример: (вставить)

12. Условная вероятность. Вероятность произведения двух зависимых событий.

1) вероятность, что произошло событие А, при условии, что В уже произошло:

Вероятность, что произошло событие В, при условии, что произошло событие А :

1. АВ В 2. АВ

2. - формула условной вероятности.

= Р(А)

= Р(В)

Вероятность суммы двух совместных событий.

А+В – либо А, либо В, либо то и другое.

А+В = (А - А

Каждое из трех слагаемых (событий) попарно не совместны.

р(А+В) = р(А-АВ) + р(АВ) + р(В-АВ) = [р(А-АВ) + р(АВ)] + [р(В-АВ) + р(АВ)] – р(АВ) = р(А –АВ+АВ) + р(В-АВ+АВ) – р(АВ) = р(А) + р(В) – р(АВ)

14. Понятие дерево вероятностей.

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества? Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, H_i={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

По условию задачи P(A!H₁) = P(A!H₃) = 0,9, P(A!H₂)=0,7 По формуле полной вероятности находим искомую вероятность: