16.Схема Бернулли. Биномиальные коэффициенты.
Событие
А, либо
.
Р(А)= р.
Р(
n-
раз проводим эксперимент. Каждый
последующий эксперимент не зависит от
предыдущего. Сколько раз может появляться
событие А, оно может появляться {0,1,…,n}.
появится
(n-m)
раз. А
.
.
Теорема:
.
Доказательство: p+q=1 (n=1)
В
комбинаторике
биномиальный коэффициент
или
интерпретируется как число сочетаний
из n по k, равное количеству всех
подмножеств (выборок)
размера k в n-элементном множестве.
17. Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа.
;
x
=
Теорема
Муавра-Лапласа:
,
где
19.Интегральная предельная теорема Лапласа как предельное испытание Бернулли.
Следствие из теоремы Муавра-Лапласа: Теорема Лапласа
Ф(х)
=
Чем
больше n,
тем точнее формула
Пример:
Серия
независимых испытаний 200 раз. Вероятность
успеха 0,3. Какова вероятность того, что
P(30
.
p=0,3.
q=1-
0,3=0,7
=
- 4,63
Ф
– нечетная функция
18.Теорема Пуассона. Функция Пуассона как предельное испытание Бернулли
Формула Пуассона
n- «велико»
m-«мало»
р-?
𝞴=
const,
m-
фиксировано
=
- формула Пуассона
𝞴
Утверждение
Она применима когда n-велико, а вероятность мала.
Пример:
завод отправлял 5000 изделий, все они
доброкачественные. Вовремя транспортировки
они могут испортится р=2
.
Найти вероятность того, что в рез.
Транспортировки сломали 3 изделия.
Р=2
𝞴=pn=1
n=5000
m=3
21.Понятие случайной величины (св). Понятие функции распределения вероятностей св.
Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.
Случайные величины обычно обозначаются большими латинскими буквами, а их значения – малыми.
ФУНКЦИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ —вероятность
того, что случайная величина X примет
значение, меньшее, чем х,где х —
произвольное действительное число:
F(x) = Р{Х ≤ х} =
F(x)
— неубывающая функция; О≤ F(x) ≤
1.Функция распределения вероятностей
полностью задает случайную величину.
23.Закон распределения вероятностей дискретной СВ. Вид функции распределения вероятностей дискретной СВ.
Если область значений является дискретным множеством, то такая СВ называется дискретной.(т.е. каждая точка изолирована). Закон распределения вероятностей для ДСВ :
Определение: Законом рапределения вероятностей ДСВ называют соответствие между возможными значениями величины и их вероятностями.
Закон распределения можно задавать либо аналитическим, либо табличным, либо графическим способами.
X |
x1 |
x2 |
x3 |
…… |
xn |
P |
P1 |
P2 |
P3 |
…… |
Pn |
P1 = P(Х = x1) , P2 = P(Х = x2) , ……., Pn = P(Х = xn) .
В одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение: x1, x2, x3, ….. xn, т.е. события {Х = x1}, {Х = x2,}, ….., {Х = xn} будут образовывать полную группу событий, и сумма их вероятностей равна единице , P1 + P2 +…..+ Pn =1 .
Если X — дискретная случайная величина, принимающая значения х1, x2... с вероятностями p1,p2,..., то ее функция распределения будет: F(x) = ∑рk; она разрывна и возрастает скачками в точках хk. Примерами дискретных функций распределения вероятностей являются биноминальная, распределение Пуассона.