- •Методические указания для выполнения контрольной работы № 2 «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •1.1. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •1.3. Формула полной вероятности. Формула байеса
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Законы их распределения
- •2.2. Числовые характеристики случайной величины
- •2.3. Равномерное распределение
- •2.4. Показательное распределение
- •2.5. Нормальное распределение
- •Математическая статистика
- •3. Выборочный метод
- •3.1. Вариационный ряд. Статистические распределения. Эмпирическая функция распределения. Графическое представление статистических распределений
- •3.2. Выборочные характеристики статистических распределений
- •3.3. Точечные и интервальные оценки параметров распределения
- •4. Корреляционно-регрессионный анализ
3.2. Выборочные характеристики статистических распределений
Пример 21. Найти числовые характеристики распределения предприятий по числу работающих (пример 18).
Решение. Признак Х – число работающих (чел.) на предприятии. Для расчета характеристик данного распределения удобнее использовать таблицу:
Число работающих на предприятии, (хi ,чел.) |
Число предприятий (mi) |
хi mi |
Н(хi) |
(хi – )2 mi |
хi2 mi |
150 250 350 450 550 650 750 |
1 3 7 30 19 15 5 |
150 750 2450 13500 10450 9750 3750 |
0 1 4 11 41 60 75 |
129600 202800 179200 108000 30400 294000 288000 |
22500 187500 857500 6045000 5747500 6337500 2812500 |
Итого |
80 |
40800 |
- |
1232000 |
22040000 . |
510 (чел.) – среднее число работающих на предприятии.
Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном вариационном ряду xj = xi при Н(хi) + 1 j Н(хi+1). Для рассматриваемого примера: xj = 450 при 12 j 41.
Объем выборки n = 80 – число четное. Пусть n = 2j , тогда j = 40. Поэтому:
450 (чел.).
Частота достигает максимума: mi = mmax = 30 при xi = 450, поэтому:
хмо = 450 (чел.).
Очевидно хмo хме – распределение асимметричное (см. рис. 14).
R = хmax – хmin = 750 – 150 = 600 (чел.).
Дисперсию рассчитываем двумя способами.
1)
2)
= 275500 – (510)2 = 15400.
(численность работающих на каждом предприятии отклоняется от средней численности в среднем на 124 чел.)
24,3 %.
На практике считают, что если 33 % , то совокупность однородная. В данном случае исследуемая совокупность однородная.
Пример 22. Найти числовые характеристики распределения затрат времени на обработку одной детали.
Решение. Признак Х – затраты времени на обработку одной детали (мин) – непрерывный. Распределение задано интервальным рядом. Характеристики такого ряда находят по тем же формулам, что и для дискретного ряда, предварительно заменив интервальный ряд дискретным. Для этого каждый интервал xi–1–xi заменяется его серединой . Расчеты представим в таблице:
Затраты времени на обработку 1 детали (Х, мин): xi–1–xi |
Число рабочих (mi) |
|
mi |
Н( ) |
|
( )2 mi |
22–24 24–26 26–28 28–30 30–32 32–34 |
2 12 34 40 10 2 |
23 25 27 29 31 33 |
46 300 918 1160 310 66 |
0 2 14 48 88 98 |
50 108 34 40 90 50 |
1058 7500 24786 33640 9610 2178 |
Итого |
100 |
- |
2800 |
- |
372 |
78772 . |
28 (мин) – среднее время на обработку одной детали.
Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном вариационном ряду xj = при Н( ) + 1 j Н( ). Для рассматриваемого примера: xj = 29 при 49 j 88.
Объем выборки n = 100 – число четное. Пусть n = 2j , тогда j = 50. Поэтому:
29 (мин).
Частота достигает максимума: mi = mmax = 40 при xi = 29, поэтому:
хмо = 29 (мин).
Очевидно хмo хме – распределение асимметричное (см. рис. 15).
R = хmax – хmin = 34 – 22 = 12 (мин).
Дисперсию рассчитываем двумя способами.
1) ;
2) ;
= 787,72 – (28)2 = 3,72.
1,93 (мин), то есть затраты времени на обработку одной детали каждым рабочим отклоняются от средних затрат времени в среднем на 1,93 мин.
– совокупность однородная.