2.2. Числовые характеристики случайной величины
Пример 12. Случайная величина X имеет распределение:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pi |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
. |
Найти характеристики случайной величины.
Решение. Воспользуемся формулами для дискретной случайной величины.
Дисперсию случайной величины можно рассчитать и по формуле:
D(X)
=
.
D(X)
= 4,9 – (1,9)2
= 4,9 – 3,61 = 1,29.
Среднее квадратическое
отклонение характеризует колеблемость
значений случайной величины около
математического ожидания.
1,14 означает, что каждое значение данной
случайной величины отклоняется от
математического ожидания (от среднего
значения) в среднем на 1,14.
Пример 13. Случайная величина X задана следующим распределением:
Найти характеристики случайной величины.
Решение. Воспользуемся формулами для непрерывной случайной величины.
=
(16 – 1024/45 + 2048/225 – 32/3 + 1024/75–1024/225) = 44/225.
Проще вычислить дисперсию по формуле:
D(X) = .
D(X) = 4/3 – (16/15)2 = 44/225.
(каждое значение
случайной величины отклоняется от
математического ожидания в среднем на
0,44).
2.3. Равномерное распределение
Пример 14. Случайная величина X имеет равномерное распределение в интервале (2, 6). Написать дифференциальную и интегральную функции, построить их графики. Вычислить характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 5), показать эту вероятность на графике.
Решение. Случайная величина X имеет равномерное распределение, следовательно,
Интегральная функция имеет вид:
Графики
функций
и F(
)представлены
на рис. 7, 8.
Рис. 7 Рис. 8
Характеристики
случайной величины:
Найдем Р(1 X 5). Интервал (1, 5) не принадлежит полностью интервалу (2, 6). Тогда разбиваем интервал (1, 5) на два интервала: (1, 2) и (2, 5). В каждом из этих интервалов находим вероятность, а затем применяем теорему сложения вероятностей.
P(1
X
2)
P(1
X
5)
(см. рис.7).
2.4. Показательное распределение
Пример 15. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром = 3. Написать дифференциальную и интегральную функции данного распределения, построить их графики. Найти характеристики случайной величины, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5; 3), показать ее на графике.
Решение. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром = 3, следовательно, дифференциальная функция имеет вид:
Интегральная функция имеет вид:
Графики интегральной и дифференциальной функций показательного распределения имеют вид:
Рис.11 Рис.12
Характеристики случайной величины X:
Интервал (1,5; 2,5) принадлежит интервалу (0, +), поэтому вероятность попадания случайной величины в заданный интервал находим по указанной выше формуле:
= 0,0111 – (0,0821)3 0,0105 (см. рис.11).