1.3. Формула полной вероятности. Формула байеса
Пример 8. На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 50 деталей, второго – 65 деталей, третьего – 45 деталей. При проведении специальных испытаний на точность установлено, что 2 %, 1 % и 3 % продукции этих станков, соответственно, имеют скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность того, что она стандартная?
Решение. Пусть событие – взятая наудачу деталь стандартная. Здесь возможны три гипотезы:
1) деталь изготовлена на первом станке (событие );
2) деталь изготовлена на втором станке (событие );
3) деталь изготовлена на третьем станке (событие ).
События (гипотезы) , , образуют полную группу событий. Требуется найти вероятность события , которое наступит с одной из гипотез Аi (деталь стандартная окажется либо с первого станка, либо со второго, либо с третьего):
Найдем по классической
формуле
.
По условию задачи известны условные вероятности события, противоположного событию , при указанных гипотезах:
Тогда по формуле полной вероятности будем иметь :
Пример 9. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Установлено, что вероятность брака для первого станка равна 0,03, для второго – 0,04, а для третьего – 0,02. Производительность первого станка в 2 раза больше второго, а третьего в 3 раза меньше второго. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она обработана на втором станке?
Решение. Пусть событие – взятая наудачу деталь бракованная. Она может поступить либо с первого станка, либо со второго, либо с третьего, то есть имеем гипотезы, образующие полную группу событий:
событие – деталь обработана на первом станке;
событие – деталь обработана на втором станке;
событие – деталь обработана на третьем станке.
По условию событие наступило, требуется определить вероятность того, что оно наступило с гипотезой . Воспользуемся формулой Байеса:
.
Известно, что
в 2 раза, а
в
3 раза. Пусть производительность третьего
станка
,
то есть
=
,
тогда
= 3
,
а
= 6
.
Тогда
N = 
+
+
= 10
.
Применяя формулу классической вероятности,
получим:
В условии задачи даны условные вероятности события В при соответствующих гипотезах:
По формуле Байеса находим:
= 0,375.
2. Случайные величины
2.1. Случайные величины. Законы их распределения
Пример 10. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии изделие и сразу проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие окажется стандартным, контролер берет следующее и так далее, но всего проверяет не более пяти изделий. Составить закон распределения числа проверяемых изделий.
Решение.
Пусть событие
– изделие нестандартное.
Случайная величина X
– число проверяемых изделий (из пяти).
Эта величина дискретная и может принимать
значения: или 1, или 2, или 3, или 4, или 5.
Составим табличный закон распределения случайной величины. Чтобы найти соответствующие вероятности, рассматриваем каждое значение случайной величины как событие.
Событие – проверено одно изделие (оно оказалось нестандартным).
Событие – проверено два изделия.
Событие – проверено три изделия.
Событие
– проверено 4 изделия.
Событие
– проверено пять изделий.
Итак, закон распределения числа проверяемых изделий имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0,06 |
0,0564 |
0,0530 |
0,0498 |
0,7808 |
. |
Пример 11. Случайная величина X задана следующим распределением:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0,1 |
? |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
. |
Найти вероятность того, что случайная величина принимает значение 1. Построить полигон распределения вероятностей. Составить интегральную функцию и построить ее график.
Решение. Неизвестную
вероятность
найдем из условия:
.
=1 – (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,1) = 0,3.
Полигон распределения вероятностей – это ломаная линия, состоящая из отрезков прямой, соединяющих точки с координатами ( , ).
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4
Рис. 1
Полигон распределения (рис.1), как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одним из способов (графическим) задания закона распределения.
Составим интегральную функцию, используя ее определение:
0, F
=
(X
0) = 0 (т.к. событие X
0 – событие невозможное).
0 1, F = (X 1) = ( = 0) = 0,1.
1 2, F = (X 2) = ( = 0 или = 1) = 0,1 + 0,3 = 0,4.
2 3, F = (X 3) = ( = 0 или = 1 или = 2) =
= ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 0,1 + 0,3 + 0,3 = 0,7.
3 4, F = (X 4) = ( = 0 или = 1 или = 2 или = 3) =
= ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = = 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 0,9.
4, F = (X 5) = ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) =
= 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1.
Итак,
Построим график интегральной функции (рис. 2). Он представляет собой разрывную ступенчатую линию. Этот график можно рассматривать как один из способов задания закона распределения случайной величины.
Рис. 2