Методические указания для выполнения контрольной работы № 2 «Теория вероятностей и математическая статистика»

1.1. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей

Пример 1. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы будет оканчиваться цифрой 4?

Решение. Пусть событие – номер наудачу открытой страницы оканчивается на 4. Так как книгу можно открыть на любой странице, то число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов = 205. В виду того, что в каждом десятке одна страница оканчивается на 4, а всего десятков 20, кроме того, среди последних 5 страниц есть одна, оканчивающаяся на 4, то всех благоприятствующих исходов будет 21, то есть = 21.

Итак,

Пример 2. Профессор вызвал через старосту группы на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии студентов и назвал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста назвал именно тех студентов, которых вызвал профессор?

Решение. Пусть событие – староста назвал трех студентов, которых вызвал профессор. Число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов (число сочетаний из 6 по 3), так как группы студентов из трех человек, взятых из шести отстающих, должны отличаться составом (фамилии студентов):

Число благоприятствующих исходов = 1, так как профессор назвал конкретные фамилии трех отстающих студентов.

Итак,

Пример 3. В партии из 35 деталей 30 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей три стандартные?

Решение. Пусть событие – среди пяти отобранных деталей три стандартные. Число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов (число всевозможных сочетаний 5 деталей из 35, порядок извлечения деталей нас не интересует), то есть

Число благоприятствующих исходов найдем следующим образом. Отобранные пять деталей включают три стандартные и две нестандартные детали. Три стандартные детали могут появиться как сочетания из 30 по 3, то есть , а две нестандартные – как сочетания из 5 по 2, то есть . Но так как каждая тройка стандартных деталей рассматривается в сочетании с каждой парой нестандартных деталей, то

.

Таким образом,

1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пример 4. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 5 денежных и 25 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша по одному билету?

Решение. Пусть событие A – выигрыш по одному билету. Событие – денежный выигрыш; событие – вещевой выигрыш; события и несовместные. Нас интересует вероятность выигрыша на один билет, причем безразлично какой, денежный или вещевой, то есть нас интересует вероятность наступления одного из двух несовместных событий: или , или .

Предварительно вычислим вероятность наступления событий и по классической формуле.

Итак, (вероятность выигрыша по одному билету).

Пример 5. В ящике имеется 25 деталей, из которых 20 стандартные. Сборщик наудачу извлекает три детали. Какова вероятность того, что среди них окажется: а) не менее двух деталей стандартных; б) по крайней мере одна деталь стандартная?

Решение. а) пусть событие – среди трех отобранных деталей не менее двух деталей стандартные (две или три). Событие – из трех деталей две стандартные и одна бракованная. Событие – все три детали стандартные. Тогда Так как события и несовместные, то по теореме сложения вероятностей будем иметь:

Для обоих событий

Поскольку из двадцати стандартных деталей отбираются две, а из пяти бракованных – одна, то число исходов испытания, благоприятствующих событию : тогда

Число исходов испытания, благоприятствующих событию : Поэтому

Отсюда

б) пусть событие – из трех деталей по крайней мере (хотя бы) одна стандартная. Событие – из трех деталей одна стандартная и две бракованные. Тогда событие равновозможно событию или или (события и введены в первой части примера). А его вероятность равна:

так как события , , несовместные.

Поскольку из двадцати стандартных деталей отбирается одна, а из пяти бракованных – две, то число исходов испытания, благоприятствующих событию : тогда

Итак,

Вероятность события проще вычислить, используя противоположное событие – из трех деталей все бракованные. Число исходов испытания, благоприятствующих событию : тогда

Так как то

Итак, при определении вероятности наступления одного из нескольких несовместных событий применяется теорема сложения вероятностей.

Если же требуется рассчитать вероятность совместного наступления двух или нескольких событий, то используется теорема умножения вероятностей для зависимых, либо для независимых событий.

Пример 6. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый взятый валик – эллиптический, а второй – конусный.

Решение. Пусть событие – валик эллиптический, а событие – валик конусный. Так как первый взятый валик не возвращен обратно, то события и зависимые. Нас интересует вероятность их совместного наступления. Найдем ее по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

.

Найдем и , используя классическую формулу (1). Учитывая, что = 10 (всего валиков),  = 7 (из 10 валиков 7 эллиптических), = 9 (так как первый валик обратно не вернули, то их осталось девять); = 3 (среди 9 оставшихся валиков 3 конусных), получим:

Тогда

Пример 7. В цехе имеется три резервных мотора. Вероятность того, что в данный момент включен первый мотор, равна 0,7; второй – 0,9 и третий – 0,6. Заметим, что упомянутые вероятности определены ранее при специальных статистических испытаниях и здесь принимаются заданными. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) только один мотор; б) хотя бы один мотор; в) по крайней мере два мотора.

Решение. Введем обозначения: событие – в данный момент включен первый мотор; событие – включен второй мотор; событие – третий мотор.

а) пусть событие – в данный момент включен только один мотор (без­различно который). Это событие можно представить так:

или или ,

где событие означает, что в данный момент включен первый мотор, а второй и третий выключены; событие – включен второй мотор, первый и третий выключены; событие – включен третий мотор, первый и второй выключены. Эти события несовместны; нас интересует вероятность наступления одного из них, поэтому воспользуемся теоремой сложения вероятностей для несовместных событий:

Каждое слагаемое можно найти по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

где = 1– 0,7 = 0,3; = 1– 0,9 = 0,1; = 1– 0,6 =0,4. Итак,

б) событие – в данный момент включен хотя бы один резервный мотор, то есть или один, или два, или три. Рассмотрим противоположное событие – все три мотора отключены.

= 0,3  0,1  0,4 = 0,012.

Так как , то = 1 – 0,012 = 0,988;

в) теперь найдем вероятность события С – включены по крайней мере два мотора, то есть или два, или три. Это событие можно представить так:

С

то есть в данный момент включены первый и второй моторы, а третий выключен; или включены первый и третий моторы, а второй выключен; или включены второй и третий моторы, первый выключен; или же включены все три мотора.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения вероятностей для независимых событий, рассчитаем вероятность события С.