Доверительные интервалы. Доверительная вероятность.
На практике часто требуется не только найти оценку параметра, но и оценить ее точность и надежность. Эта задача особенно актуальна при малом числе испытаний, когда замена параметра a его оценкой может привести к большим ошибкам. В математической статистике для определении точности и надежности оценки используют доверительные интервал и вероятность.
Пусть
несмещенная оценка параметра a.
Требуется оценить возможную ошибку.
Пусть P
– достаточно большая (близкая к 1)
вероятность такая, что событие с
вероятностью P
можно считать практически достоверным
(
.
Данная вероятность – доверительная вероятность.
Найдем
такое
что
.
Тогда возможные ошибки будут находиться
в диапазоне
.
А ошибки по абсолютной величине большие
будут встречаться крайне редко с
вероятностью 1-P.
Последнее неравенство запишем в
развернутом виде:
.
Это равенство означает, что с вероятностью
P
истинное значение параметра находится
в интервале
(доверительный интервал).
17.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном .
Пусть
количественный признак X
распределен по нормальному закону
распределения, причем заранее известно
.
Нам требуется оценить неизвестное
математическое ожидание
по
выборочной средней
.
Другими словами построить доверительный
интервал для математического ожидания.
Будем рассматривать оценки
как значения случайной величины.
будет изменяться от выборки к выборке.
Доказано что математическое ожидание
равно:
.
А
,
где n
– объем выборки. Поскольку X
имеет нормальное распределение то
вероятность отклонения
,
где
.
И пусть задана доверительная вероятность
.
Из соотношения
мы получаем что
.
По таблице значений функции Лапласа мы
находим
.
И тогда из соотношения
мы находим, что
и искомый доверительный интервал будет:
Замечания:
из
формулы для оценки точности следует,
что с увеличением n
число
убывает и, следовательно, точность
оценки возрастает;
если
требуется оценить математическое
ожидание с напередзаданной точностью
и надежностью,
то минимальный объем выборки:
.
18.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .
Пусть
случайная величина распределена по
нормальному закону распределения. Нам
нужно найти доверительный интервал с
надежностью j
для математического ожидания. Извлекаем
выборку объема n.
По этой выборке находим оценку
математического ожидания
и оценку среднеквадратического отклонения
(несмещенного)
.
Тогда доверительный интервал имеет
следующий вид:
где
находится из соотношения
по таблицам распределения Стьюдента.
Здесь таблицы заданы по двум параметрам.
В таблицу входит кроме j
еще и n-число
степеней свободы.
Замечание: из предельных соотношений показывается, что если то распределение Стьюдента стремиться к нормальному распределению. Поэтому когда n>30 то вместо распределения Стьюдента пользуются нормальным распределением, однако когда n<30, то замена распределения Стьюдента нормальным распределением может привести к значительным ошибкам.
19.
Схема
применения критерия
Пусть у нас имеется гипотеза о том, что закон распределения нормальный.
делаем выборку из генеральной совокупности и по выборке составляем интервальный ряд, для чего находим интервальный ряд K;
по
выборке находим оценки параметров
;
записываем закон распределения
(нормальный) с найденными оценками (в
качестве параметров; по найденному
закону распределения находим вероятности
попадания в каждый интервал; вычисляем
наблюдаемое
,
где
- частота попадания в I-ай
интервал;
принимаем статистическое решение.
Гипотеза
о
том, что закон распределения нормальный
не противоречит выборке наблюдений при
заданном уровне значимости
,
если
,
где
(k
– число степеней свободы, l
– число параметров). Если же
,
то гипотеза отвергается. Для определения
имеются специальные таблицы критических
значений.