Вероятность попадания случайной величины в квадрат бесконечных полусумм прямоугольников.

Найдем вероятность того, что и

. Откуда мы видим, что и

Рассмотрим двумерную дискретную случайную величину (x;y) с возможными значениями .

Условное распределение составляющей X при условии, что - перечень возможных значений составляющей X и их условных вероятностей

вычисленных предположений, что событие наступило. Эти вероятности вычисляются по формуле:

Совершенно аналогично определяем условное распределение составляющей Y при условии что . Если же двумерная случайная величина (x;y) непрерывна, то условная дифференциальная функция распределения и аналогично

14.

Зависимые и независимые случайные величины.

Случайная величина X независимая от случайной величины Y, если закон ее распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Y.

Теорема:

Для того чтобы случайная величины были независимые необходимо и достаточно чтобы

Доказательство:

Необходимость.

Дано, что две случайные величины независимы. Тогда Достаточность.

Дано, что две случайные величины независимы. Тогда

Следствие: для того чтобы случайные величины X,Y были независимы необходимо и достаточно чтобы .

Если случайные величины независимы, то условная функция распределения

и .

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Для одномерной случайной величины числовые характеристики представляют собой начальный и центральный моменты, причем наиболее существенными из них являются и

Для двумерной случайной величины так же существуют начальный и центральный моменты.

Начальный момент порядка k, l -

Центральный момент порядка k, l - .

Запишем формулы для вычисления этих моментов. Если случайная величина дискретная , , а , то начальный момент

.

Центральный момент

Если же двумерная случайная величина непрерывна, то моменты вычисляются следующим образом:

Наиболее важными из этих моментов являются:

Особое место среди моментов играет смешанный второй центральный момент.

,

который обозначается и называется корреляционным моментом. Этот момент служит для характеристики зависимости между случайными величинами X и Y.

Теорема.

Если случайные величины X и Y независимы, то корреляционный момент равен 0.

Доказательство.

Замечание: обратное утверждение, что если корреляционный момент равен 0, то случайные величины независимы – неверно. Можно лишь утверждать, что между этими случайными величинами отсутствует линейная связь. Дело в том, что может быть и нелинейная связь. Часто вместо корреляционного момента рассматривают нормированную величину, так называемый коэффициент корреляции

.

Этот коэффициент удовлетворяет условию . Он точно также как и служит для характеристики зависимости случайных величин.

15.

Основные понятия математичесКой статистиКи

Математическая статистика – наука, занимающаяся установление закономерностей которым подчинены массовые однородные случайные явления.

Перед математической статистикой стоят две задачи:

правильно указать способы сбора информации;

правильно указать способы анализа и обработки информации.

Основные понятия математической статистики

Пусть требуется изучить совокупность N однородных объектов относительно некоторого признака. Можно поступить двояко: произвести сплошное обследование (обследовать каждый объект относительно этого признака) или мы можем взять некоторую

часть объектов, исследовать их и полученные результаты распространить на всю совокупность.

Выборка – обследуемые объекты.

Генеральная совокупность - вся совокупность объектов..

Объем выборки – число объектов в выборке.

Существуют разные виды выборки:

повторная, если объект после исследования возвращается в генеральную совокупность.

не повторная, если объект не возвращается в генеральную совокупность.

На практике, как правило, пользуются бесповторной выборкой. Выборка должна достаточно объективно отражать все особенности исследуемых объектов.

Способы отбора.

Простой случайный отбор – объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

Осуществить такой отбор можно пользуясь таблицами или датчиками случайных чисел.

Типический отбор – объекты отбирают не из всей генеральной совокупность, а из некоторой ее части.

Пример:

Изделия изготавливают на нескольких станках, а проверяют изделия с одного станка.

Серийный отбор – объекты отбирают из генеральной совокупности сериями (пачками).

Пример:

Выпускают лампочки и проверяют сразу ящик.

Статистический ряд.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, причем значение

наблюдалось раз, . Значения - варианты.

Обычно эти значения располагают в порядке возрастания и записывают в виде таблицы.

- значение вариантов

- частоты

- относительные частоты

Размах выборки – разность

Такой рая – статистический вариационный ряд.

Однако если объем выборки очень большой, то в этом случае вместо статистического ряда составляют интервальный статистический ряд. Для этого всю выборку разбивают на K интервалов при помощи формулы . Составляют интервалы:

- число – вариант X значений, которые попали в i-ый интервал.

Наряду с интервальным рядом пользуются расширенным интервальным рядом.

Эмпирическая функция распределения.

Пусть задан ряд распределения. Введем следующие обозначения: - число наблюдений, при которых наблюдаемое значение <X, N – объем выборки. Тогда эмпирическая функция распределения равна:

. Если X меняется, то и значение функции также меняется. Понятно что . В отличие от интегральной функции распределения F(x) эмпирическая функция распределения строится по результатам наблюдений. Поэтому интегральная функция распределения F(x) – теоретическая функция.

Пример:

Пусть задан ряд:

Тогда мы видим:

Полигон и гистограмма.

В целях наглядности строят различные графики статистического распределения.

Полигон частот – ломанная, отрезки, которой соединяют точки .

Полигон относительных частот – ломанная, отрезки, которой соединяют точки .

Если же выборка задана интервальным рядом распределения, тогда строят гистограмму.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников основаниями которых являются длины интервалов, а высота равна , где h – длина интервала.

Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников основаниями которых являются длины интервалов, а высота равна .

На практике чаще всего строят гистограмму относительных частот.

Пример:

16.

Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется изучить некоторый признак генеральной совокупности. И пусть мы каким-то образом установили закон распределения. Нам надо найти параметры данного закона распределения. Например, если закон распределения нормальный то нам надо найти a и , если закон показательный то - .

Любое распределение имеет свои параметры. Пусть закон распределения будет f(a; x). Поскольку мы точно не знаем параметр, то мы можем найти его по выборке.

Оценка – любое значение параметра найденное по выборке.

Оценка обозначается или . Для того чтобы оценки давали хорошие результаты к ним предъявляются следующие требования:

состоятельность

Оценка состоятельная, если при увеличении числа опытов оценка по вероятности стремится к истинному значению.

не смещенность

Оценка не смещенная, если при пользовании ей не ошибок одно знака.

эффективность

Оценка эффективная, если по сравнению с другими оценками она имеет наименьшую дисперсию.

Точечные оценки параметров распределения.

Точечная оценка – оценка, выраженная одним числом.

Интервальная оценка – оценка, заданная интервалом.

Пусть задан ряд распределения.

Статистическое среднее (оценка математического ожидания) -

Если у нас ряд распределения интервальный то , где - середина соответствующего интервала.

Замечание: если первоначальные варианты - большие числа, то для упрощения расчетов целесообразно из каждого из вариантов вычесть одно и то же число C: .

Тогда .

Доказано что оценка математического ожидания является состоятельной и несмещенной.

Теория вероятности в качестве меры рассеивания случайной величины рассматривает дисперсию. В статистике рассматривают оценку дисперсии или выборочную дисперсию (вычисляется по формуле ).

Если же ряд задан интервально то . Однако на практике пользуются другими формулами:

Замечание: если значения - большие числа тогда переходят к условным вариантам

и .

В математической статистик доказывается, что дисперсия является состоятельной оценкой, но смещенной. Причем несмещенная дисперсия связана со смещенной следующим соотношением: .

Оценка среднеквадратического отклонения -

Замечание: на практике когда приблизительно считают что .

.