Нормальный закон распределения

Среди других законов распределения непрерывных случайных величин особое место занимает нормальный закон распределения.

1) , где a и - параметры.

Это наиболее часто встречающийся на практике закон. Особенностью его является то, что он является предельным законом, к которому стреляться многие другие законы при наличии некоторых допущений.

2)

3)

Общее распределение - нормальное распределение с произвольными параметрами a и .

График дифференциальной функции.

Наряду с общим законом распределения рассматривают нормированный нормальный закон распределения, вводя новую переменную . Подставив Y в нормальный закон распределения, мы имеем:

Общий закон распределения связан с нормированным следующим образом:

Для удобства пользования нормальным законом распределения рассматривают функцию Лапласа:

Заметим, что интеграл Лапласа является неберущимся интегралом.

Основные свойства функции Лапласа:

а) функция нечетная

б)

в)

г) для функции Лапласа созданы таблицы значений.

Замечание: в некоторых учебниках . В этом случае формулы для вычисления приводятся к следующему виду:

Зачастую требуется найти вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания.

Тогда

Правило:

Если случайная величина распределена по нормальному закону распределения, то абсолютная величина ее отклонения практически не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

13.

Двумерные случайные величины.Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей.Одномерные законы распределения.

Возможные значения тех случайных величин, которые мы рассматривали до сих пор, описываются одним числом.

Одномерные случайные величины – случайные величины, которые можно описать одним числом (измеряется длина выпускаемых брусков).

Однако на практике встречаются случайные величины, которые описываются не одним, а несколькими числами.

Многомерная случайная величина – случайная величина, описываемая несколькими числами.

Мы для простоты будем рассматривать двумерную случайную величину. Обозначать ее будем (X;Y). Возможные значения данной случайной величины - . Двухмерную случайную величину можно рассматривать как систему двух одномерных.

Дискретная двумерная случайная величина – система двух случайных величин, составляющие которой являются дискретными случайными величинами.

Непрерывная двумерная случайная величина – система двух случайных величин, составляющие которой являются непрерывными случайными величинами.

13.

Дискретные случайные величины.

Закон распределения двумерной случайной величины – перечень возможных значений и из вероятностей.

Здесь первый и последний столбцы, без последней строки, задают одномерный закон распределения случайной величины Y. А первая и последняя строки, без последнего столбца, задают одномерный закон распределения случайной величины X.

13.

Интегральная функция распределения двумерной случайной величины.

Пусть случайная величина (x; y) является дискретной или непрерывной.

Интегральная функция распределения двумерной случайной величины (x; y) – функция - вероятность того, что X примет значение <x, а Y<y.

Геометрически это означает что случайная величина в заштрихованный бесконечный квадрат.

Свойства интегральной функции распределения: 1)

2) функция неубывающая

3) имеют место следующие предельные соотношения:

Здесь - интегральная функция составляющей X;

- интегральная функция составляющей Y.

вероятность того, что случайная величина примет значение

(для непрерывной случайной величины).

13.