Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.

Сумма двух событий A и B – событие, состоящее в появлении события A или B одновременно. Оно обозначается . Когда речь идет о сумме событий, то всегда ставится союз или.

Геометрическое растолкование суммы событий.

Рассмотрим плоскость, на которую случайным образом точка, причем точка всегда попадает в плоскость. Тогда событие попадания точки в квадрат - достоверное. Площадь квадрата равна 1, тогда вероятность попадания точки в квадрат равна 1.

А – вероятность попадания точки в область А.Вероятность равна .

В – вероятность попадания точки в область В. Вероятность равна .

Событие A+B означает, что точка попадет в эту

область.

Примеры:

. Производится два выстрела про цели.

А - попадание в цель при первом выстреле;

В – попадание в цель при втором выстреле.

A+B- вероятность попадания в цель:

первый раз попал, второй промазал;

первый раз промазал, второй попал;

первый и второй попал.

Основные свойства суммы событий.

4) если события образуют полную группу, то

5) то A+B=B

3.

Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.

Произведение двух событий A и B – событие, состоящее в совместном появлении событий A и B.

Замечание: когда речь идет о произведении событий, тогда используется союз и.

Основные свойства произведения событий:

1)

2)

3)

4) если A и B несовместные события, то

5) , то

Теорема сложения вероятности несовместных событий.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обычно для сокращения записи рассматривают два несовместных события.

Д оказательство:

Пусть пространство элементарных событий состоит из n элементарных исходов. Причем событию A благоприятствует элементарных исходов, а событию B - элементарных исходов. Поскольку события A и B – несовместные, то среди этих исходов нет общих.

Тогда сумме событий благоприятствует исходов.

Следствия:

Если события образуют полную группу несовместных событий, то вероятность ;

Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

Замечание: обычно вероятность события A обозначают p, тогда

Теорема умножения.

Событие A зависимое от события B, если его вероятность зависит от того, произошло ли событие B.

Условная вероятность – вероятность появления события A при условии, что произошло событие B.

Основные свойства условной вероятности:

Если событие A зависит (не зависит) от события B, то и событие B зависит (не зависит) от события A.

Если события A и B независимы, то независимы и , и A, B и .

Если события A и B независимы, то вероятность

Теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий равна вероятности первого события умноженной на вероятность второго события, при условии, что первое произошло.

Доказательство:

Доказательство приведем для двух событий, сводящихся к схеме случая. Пусть у нас имеется n элементарных исходов. Из них m - благоприятных событию A, L – событию B, k – их совместному появлению.

Замечание: теорема обобщается на случай произвольного числа событий.

Теорема:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Независимые в совокупности события – несколько событий, вероятность которых не зависит от того какова совокупность других событий.

Следствие: вероятность произведения независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей.

1)

2) Если события независимые в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

Совместные события – события, появление одного и которых не исключает появления другого.

Теорема сложения для совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного появления.

Д оказательство:

4.

Формула полной вероятности.

Следствием теоремы сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Теорема:

Пусть событие A может произойти с одним из событий , образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Тогда вероятность события A равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события A при этой гипотезе.

Доказательство:

События образуют полную группу событий, следовательно, событие A может появиться с одним из событий .

;

Поскольку события несовместны то и события также будут несовместны и тогда, применяя теорему сложения, можно записать:

5.

Схема Бернулли.

Пусть производится серия из n испытаний, причем в каждом из испытаний событие A может появиться с постоянной вероятностью P и не появиться с вероятностью . В этом случае говорят, что у нас действует схема Бернулли.

Теорема: формула Бернулли.

Вероятность того, что в серии из n опытов событие A появится k раз, вычисляется по формуле

Вывод формулы Бернулли.

Вероятность одного сложного события состоит в том, что в серии n из испытаний событие A появится, раз и не появится n-k равно . Таких сложных несовместных событий будет столько, сколько можно сделать сочетаний из n элементов по k равно . Отсюда вытекает формула.

Пример:

Пусть проводится серия из 4 испытаний. Причем будем рассматривать событие, когда A появляется три раза. Таких событий будет: .

Формулой Бернулли удобно пользоваться в тех случаях, когда число испытаний небольшое. Если же число испытаний большое, то в этих случаях пользуются формулами Лапласа и Пуассона.

6.